Introduction aux notions de pourcentages et recherche d'informations

Cet exercice issu du Brevet des collèges 2014 (Métropole) est un cas pratique de la vie quotidienne : comparer des offres promotionnelles pour optimiser un achat. Il mobilise deux compétences fondamentales du cycle 4 : la recherche d'informations dans un document (tableau comparatif) et la maîtrise des pourcentages. Savoir calculer une réduction, comparer des ratios et comprendre les remises successives sont des outils mathématiques indispensables pour le citoyen. À travers cet énoncé, nous allons voir comment traduire des offres commerciales en expressions mathématiques comparables.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous présente trois magasins (A, B et C) vendant le même cahier au même prix initial. Appelons ce prix unitaire \( P \).

1. Étude du cas unitaire : Pourquoi le magasin C est-il le plus avantageux ?

Pour l'achat d'un seul cahier :

• Magasin A : Pas de promotion (le lot commence à 3). Le prix est \( P \).
• Magasin B : Pas de promotion (la remise s'applique sur le deuxième). Le prix est \( P \).
• Magasin C : Réduction immédiate de 30\%. Le prix devient \( 0,70 \times P \).

En mathématiques, une réduction de 30\% correspond à multiplier le prix par un coefficient de \( 1 - \frac{30}{100} = 0,7 \). Comme \( 0,7P < P \), le magasin C est mathématiquement le plus intéressant pour une unité.

2. Comparaison des lots : deux et trois cahiers

C'est ici que la recherche d'informations devient cruciale pour ne pas se tromper de formule.

Cas (a) : Achat de deux cahiers

• Magasin A : Pas de lot de 2. On paie \( 2P \).
• Magasin B : "Le deuxième à moitié prix". On paie \( P + 0,5P = 1,5P \). Le prix unitaire moyen est de \( 0,75P \).
• Magasin C : 30\% de remise sur chaque cahier. On paie \( 2 \times 0,7P = 1,4P \).

En comparant \( 1,5P \) et \( 1,4P \), on constate que le magasin C reste le moins cher pour deux cahiers.

Cas (b) : Achat de trois cahiers

• Magasin A : "3 pour le prix de 2". On paie \( 2P \).
• Magasin B : Le premier est à \( P \), le deuxième à \( 0,5P \), le troisième à \( P \). Total : \( 2,5P \).
• Magasin C : Toujours 30\% de remise. Total : \( 3 \times 0,7P = 2,1P \).

Ici, le magasin A devient le plus avantageux car \( 2P < 2,1P < 2,5P \). Cela montre que l'avantage d'une promotion dépend fortement de la quantité achetée.

3. Le piège des réductions successives

La question 3 introduit une difficulté classique : la remise supplémentaire de 10\% via la carte de fidélité dans le magasin C. La question est : quel est le pourcentage de réduction totale ?

L'erreur à éviter absolument

Beaucoup d'élèves additionnent simplement les pourcentages : \( 30\% + 10\% = 40\% \). C'est faux ! La deuxième réduction s'applique sur le prix déjà réduit, pas sur le prix initial. On parle de réductions successives.

Le raisonnement correct

Pour un cahier :

• Prix après la première remise (30\%) : \( P \times 0,7 \).
• Prix après la deuxième remise (10\% sur le nouveau prix) : \( (P \times 0,7) \times 0,9 \).
• Calcul final : \( 0,7 \times 0,9 = 0,63 \).

Le prix final est \( 0,63P \). Pour trouver le pourcentage de réduction total, on calcule : \( 1 - 0,63 = 0,37 \), soit 37\% de réduction totale (et non 40\%).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points lors de l'épreuve de mathématiques :
1. Nommez vos variables : Précisez que vous travaillez avec un prix initial \( P \) ou faites une simulation avec une valeur simple comme 10€ pour illustrer vos propos.
2. Justifiez par le calcul : Ne vous contentez pas de dire "C'est moins cher". Écrivez : "Dans le magasin B, le prix pour 2 cahiers est \( P + 0,5P = 1,5P \)".
3. Concluez par une phrase : Répondez explicitement à la question posée par une phrase affirmative claire (ex: "Léa doit choisir le magasin A pour l'achat de trois cahiers").

Synthèse des pièges courants

Sur ce type d'exercice de recherche d'informations, l'élève doit rester vigilant sur :

• La lecture de l'offre du magasin A : bien comprendre que le 3ème est gratuit.
• La confusion entre "moitié prix" (\( \div 2 \)) et "deux fois moins cher".
• L'application des pourcentages successifs qui ne s'additionnent jamais directement.

En maîtrisant ces concepts, vous transformez un exercice de logique commerciale en points faciles pour votre diplôme.