Introduction aux notions du Brevet 2014

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet des Collèges 2014 (Série Générale - Métropole) est un classique incontournable du type « Vrai ou Faux ». Ce format est particulièrement exigeant car, comme le précise l'énoncé, « toutes les réponses doivent être justifiées ». Il ne suffit pas de deviner ; il faut démontrer. Cet exercice mobilise quatre piliers du programme de 3ème : le calcul de volumes (prisme droit), la géométrie plane (parallélisme et quadrillage), les propriétés du carré et de Pythagore, et enfin l'analyse des fonctions affines (antécédents).

Analyse Méthodique de l'Affirmation 1 : Volume et Prisme

L'affirmation 1 nous présente un solide complexe. À première vue, il s'agit d'un prisme droit dont la base est un triangle rectangle. Pour calculer le volume $V$ d'un tel solide, la formule est : $V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$.
Ici, la base est un triangle rectangle de côtés 4 cm et 2 cm. Son aire est donc : $(4 \times 2) / 2 = 4 \text{ cm}^2$. La hauteur du prisme (la longueur séparant les deux faces triangulaires) est de 7 cm. Le calcul final est $4 \times 7 = 28 \text{ cm}^3$. L'affirmation annonçait 56 cm$^3$, ce qui correspondrait à l'oubli de la division par 2 pour l'aire du triangle. L'affirmation 1 est donc FAUSSE.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 2 : Parallélisme et Quadrillage

Dans cette partie, on utilise un quadrillage pour déterminer si les droites (ML) et (NO) sont parallèles. En mathématiques de 3ème, le meilleur outil ici est soit le théorème de Thalès, soit l'utilisation des coefficients directeurs (pentes). Sur le quadrillage, pour aller de L à M, on se déplace de 2 unités vers la droite et 1 unité vers le haut (pente de $1/2 = 0,5$). Pour aller de N à O, on se déplace de 7 unités vers la droite et 4 unités vers le haut (pente de $4/7 \approx 0,57$). Les pentes étant différentes, les droites ne sont pas parallèles. On peut aussi appliquer la réciproque de Thalès dans les triangles rectangles formés par le quadrillage : $1/2$ n'est pas égal à $4/7$. L'affirmation 2 est donc FAUSSE.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 3 : Diagonale du Carré

L'affirmation 3 porte sur un carré d'aire 36 cm$^2$. La première étape consiste à retrouver la longueur du côté $c$. Puisque $c^2 = 36$, alors $c = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}$. Pour trouver la diagonale $d$, on applique le théorème de Pythagore dans l'un des triangles rectangles formés par la diagonale : $d^2 = c^2 + c^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$. Ainsi, $d = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \text{ cm}$. L'affirmation 3 est donc VRAIE. C'est une application directe des radicaux et de la géométrie.

Analyse Méthodique de l'Affirmation 4 : Fonctions et Antécédents

On nous donne la fonction $f(x) = 3x + 5$. Chercher l'antécédent de 0 revient à résoudre l'équation $f(x) = 0$, soit $3x + 5 = 0$. En isolant $x$, on obtient $3x = -5$, d'où $x = -5/3$. Puisqu'il s'agit d'une équation du premier degré avec une seule solution unique, le nombre 0 possède effectivement un seul et unique antécédent par cette fonction affine. L'affirmation 4 est donc VRAIE.

Les Pièges à éviter le jour de l'épreuve

Le premier piège de cet exercice est l'absence de justification. Un élève qui écrit simplement "Vrai" ou "Faux" sans calcul perd l'intégralité des points. Concernant le volume, le piège classique est de confondre la base du prisme (le triangle) avec une face latérale rectangulaire. En géométrie, ne vous fiez jamais à l'œil nu : les figures sont souvent codées mais pas à l'échelle pour vous induire en erreur sur le parallélisme. Enfin, pour les fonctions, ne confondez pas l'image (calculer $f(0)$) et l'antécédent (résoudre $f(x)=0$).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse :
1. Énoncez clairement votre position (Vrai ou Faux).
2. Citez la formule utilisée (ex: $V = \text{Aire de la base} \times h$).
3. Présentez le calcul détaillé avec les unités ($cm, cm^2, cm^3$).
4. Concluez par une phrase de synthèse.
Utilisez des connecteurs logiques comme « Or », « Donc », « On en déduit que ». Une copie propre et aérée avec des résultats encadrés est toujours valorisée par le correcteur.