Introduction aux notions d'Arithmétique au Brevet

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2014 (Zone Pondichéry) constitue une excellente base pour s'entraîner aux notions fondamentales d'arithmétique. L'arithmétique est la branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers et leurs propriétés de division. Au niveau 3ème, les compétences attendues tournent autour de la division euclidienne, des critères de divisibilité et de la recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Dans cet énoncé, nous suivons Emma et Arthur dans l'organisation de leur mariage, un prétexte concret pour manipuler les nombres \(3003\) et \(3731\). L'objectif est de comprendre comment répartir des objets de manière équitable et optimale sans laisser de reste.

Analyse de la Question 1 : La Division Euclidienne

La première question nous demande de calculer le reste de dragées non utilisées lors d'une répartition dans 20 corbeilles. C'est un cas d'application directe de la division euclidienne. Pour chaque type de dragées, il faut diviser le nombre total par 20. Pour les dragées au chocolat : \(3003 = 20 \times 150 + 3\). Le quotient 150 représente le nombre de dragées par corbeille, et le reste 3 est ce qui n'a pas pu être distribué. Pour les dragées aux amandes : \(3731 = 20 \times 186 + 11\). Ici, le quotient est 186 et le reste est 11. Attention, le problème précise que chaque corbeille doit avoir la même composition. Cela signifie que l'on doit prendre le même nombre de dragées de chaque sorte par corbeille ? Non, l'énoncé dit 'composition identique', donc chaque corbeille aura \(x\) chocolat et \(y\) amandes. Mais ici on nous demande simplement le total restant. Le reste total est donc la somme des restes individuels : \(3 + 11 = 14\). Il reste donc 14 dragées sur la table.

Analyse de la Question 2a : Critères de Divisibilité

Emma propose de faire 90 ballotins. Pour que cela fonctionne sans reste, il faut que 90 soit un diviseur commun à \(3003\) et \(3731\). Or, nous pouvons utiliser les critères de divisibilité rapides. Pour qu'un nombre soit divisible par 90, il doit au moins être divisible par 10 (se terminer par 0). Or, ni \(3003\) (se termine par 3) ni \(3731\) (se termine par 1) ne sont divisibles par 10. Par conséquent, ils ne peuvent pas être divisibles par 90. La proposition d'Emma est donc impossible. Justifier proprement demande d'énoncer que le reste de la division de \(3003\) par 90 n'est pas nul. En effet, \(3003 = 90 \times 33 + 33\).

Analyse de la Question 2b : Le PGCD et l'Algorithme d'Euclide

C'est le cœur de l'exercice. Chercher le 'maximum de ballotins' de 'composition identique' sans reste revient mathématiquement à chercher le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des nombres \(3003\) et \(3731\). Pour trouver le PGCD(3731, 3003), la méthode la plus efficace est l'algorithme d'Euclide (divisions successives) :
1. \(3731 = 1 \times 3003 + 728\)
2. \(3003 = 4 \times 728 + 91\)
3. \(728 = 8 \times 91 + 0\).
Le dernier reste non nul est 91. Ils feront donc un maximum de 91 ballotins. Pour trouver la composition, il suffit de diviser chaque stock par 91 : \(3003 / 91 = 33\) dragées au chocolat et \(3731 / 91 = 41\) dragées aux amandes. Chaque ballotin contiendra donc 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes.

Les Pièges à éviter

Le premier piège est de confondre le PGCD avec le PPCM ou de se tromper dans les soustractions de l'algorithme d'Euclide. Vérifiez toujours vos multiplications à la main ou à la calculatrice. Un autre piège classique est d'oublier de répondre à la deuxième partie de la question : 'quelle sera leur composition ?'. Beaucoup d'élèves s'arrêtent au calcul du PGCD. Enfin, n'oubliez pas les unités et les phrases de conclusion qui contextualisent vos résultats numériques.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, rédigez clairement. Utilisez des termes comme 'diviseur', 'quotient', 'reste'. Pour la question du PGCD, nommez la méthode utilisée : 'J'utilise l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD de 3731 et 3003'. Présentez vos divisions sous forme d'égalités : \(a = b \times q + r\). Concluez par une phrase telle que : 'Ils pourront confectionner 91 ballotins contenant chacun 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes'. Cette rigueur montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi le raisonnement logique associé à l'arithmétique.