Introduction aux notions de géométrie du Brevet

Cet exercice issu du brevet de mathématiques 2014 pour la zone Nouvelle-Calédonie est un excellent support pour réviser les fondamentaux de la géométrie plane et spatiale. Il s'articule autour de deux piliers majeurs du programme de 3ème : le théorème de Pythagore et l'étude des agrandissements-réductions (liée aux calculs de périmètres). L'énoncé nous place dans un contexte concret, celui d'un objet traditionnel, le 'Nón lá', modélisé par un cône de révolution. L'objectif est double : calculer une longueur manquante dans un triangle rectangle et déterminer la longueur d'un ruban après une transformation géométrique.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul de la hauteur du cône (Théorème de Pythagore)

La première question nous demande de calculer la hauteur $SO$ du chapeau. L'énoncé précise que le triangle $SOM$ est rectangle en $O$. C'est l'indice crucial qui doit immédiatement te faire penser au théorème de Pythagore. Dans le triangle $SOM$ rectangle en $O$, le côté $SM$ représente l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit et le plus long du triangle).

Les données sont les suivantes : $OM = 24$ cm (le rayon de la base) et $SM = 37,5$ cm (la génératrice du cône). Selon l'égalité de Pythagore, nous avons : $SM^2 = SO^2 + OM^2$. Pour isoler la hauteur $SO$, nous devons transformer l'égalité : $SO^2 = SM^2 - OM^2$.

Passons aux calculs numériques : $SO^2 = 37,5^2 - 24^2$. En effectuant les carrés, on obtient $SO^2 = 1406,25 - 576$, soit $SO^2 = 830,25$. Pour trouver $SO$, on utilise la racine carrée : $SO = \sqrt{830,25}$. La calculatrice nous donne exactement $28,816...$. L'énoncé demandant un arrondi à l'unité, nous observons le premier chiffre après la virgule (8). Comme il est supérieur à 5, nous arrondissons à l'unité supérieure. La hauteur $SO$ est donc d'environ $29$ cm.

2. Nature de la section et réduction

La deuxième partie de l'exercice introduit un ruban placé parallèlement à la base, au tiers du chapeau en partant du sommet.
Question a : Lorsqu'on coupe un cône par un plan parallèle à sa base, la section obtenue est toujours une réduction de la base. La base étant un disque (ou un cercle pour son contour), la figure formée par le ruban est donc un cercle.

3. Calcul de la longueur du ruban (Périmètre)

Question b : Pour calculer la longueur du ruban, il faut déterminer son périmètre. Puisque le ruban est placé au tiers de la hauteur en partant du sommet, cela signifie que nous sommes dans une situation de réduction de rapport $k = \frac{1}{3}$.

Il existe deux méthodes pour trouver le nouveau rayon $r'$ du ruban :
1. Utiliser le coefficient de réduction : $r' = OM \times \frac{1}{3} = 24 \times \frac{1}{3} = 8$ cm.
2. Appliquer le théorème de Thalès dans le triangle $SOM$ si l'on nomme les points d'intersection du ruban.

Une fois le rayon du ruban connu ($8$ cm), on applique la formule du périmètre d'un cercle : $P = 2 \times \pi \times R$. Ici, $P = 2 \times \pi \times 8 = 16\pi$. En prenant une valeur approchée de $\pi$, on obtient environ $50,265$ cm. Selon le contexte, on peut donner une réponse arrondie au dixième, soit $50,3$ cm.

Les Pièges à Éviter

Le premier piège classique dans cet exercice concerne l'utilisation du théorème de Pythagore. Beaucoup d'élèves ont tendance à additionner les carrés par réflexe. Or, ici, on cherche un côté de l'angle droit et non l'hypoténuse. Il faut impérativement soustraire le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse : $SM^2 - OM^2$.

Le second piège réside dans la compréhension de l'énoncé 'au tiers du chapeau en partant du sommet'. Si l'énoncé avait dit 'au tiers en partant de la base', le rapport de réduction aurait été de $2/3$ et non $1/3$. Il faut donc lire très attentivement l'origine de la mesure de réduction.

Enfin, attention aux unités et aux arrondis. Si vous arrondissez trop tôt dans vos calculs intermédiaires, votre résultat final risque d'être faussé. Gardez les valeurs exactes (comme les racines carrées ou les fractions) jusqu'à la dernière étape du calcul.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, ta copie doit être exemplaire. Voici la structure à suivre :
1. Citer le triangle et sa nature : 'Dans le triangle $SOM$ rectangle en $O$...'
2. Nommer le théorème : 'D'après le théorème de Pythagore, on a...'
3. Écrire l'égalité littérale : Avant de remplacer par les chiffres, écris toujours la formule avec les noms des segments ($SM^2 = SO^2 + OM^2$).
4. Présenter le résultat avec l'unité : Un résultat sans unité ($cm, cm^2$) peut être pénalisé. Pour l'arrondi, précise bien : 'Soit environ $29$ cm à l'unité près'.
5. Justifier la nature géométrique : Pour la question sur le ruban, mentionne que la section d'un cône par un plan parallèle à la base est un cercle réduit.