Introduction au calcul littéral et aux identités remarquables
Le calcul littéral est l'un des piliers fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème. Il ne s'agit pas simplement de manipuler des lettres comme $n$, $x$ ou $a$, mais de comprendre comment ces variables permettent de généraliser des propriétés numériques et de simplifier des calculs complexes. Cet exercice issu du Brevet 2014 (Zone Étrangers) se concentre sur une compétence spécifique : la reconnaissance et l'application d'une identité remarquable. Dans le cadre du Brevet des Collèges, maîtriser le passage d'un produit de facteurs à une somme (le développement) est essentiel pour valider les compétences du socle commun. Nous allons ici explorer comment l'expression $(2n + 5)(2n - 5)$ cache une structure mathématique puissante permettant d'effectuer des calculs mentaux impressionnants.
Analyse méthodique de la Question 1 : Développer et réduire
La première question nous demande de développer et réduire l'expression $(2n + 5)(2n - 5)$. Un élève de 3ème doit immédiatement identifier ici la forme $(a + b)(a - b)$. C'est la troisième identité remarquable, souvent appelée 'différence de deux carrés'. Pourquoi ? Parce que son développement simplifié aboutit toujours à $a^2 - b^2$.
Analysons l'expression pas à pas : ici, notre $a$ correspond au terme $2n$ et notre $b$ correspond au nombre $5$. En appliquant la formule théorique, nous obtenons : $(2n)^2 - 5^2$. Attention à la rigueur de la notation ! Le carré s'applique à l'ensemble du terme $2n$, ce qui nécessite des parenthèses. Sans elles, l'élève risque d'écrire $2n^2$ au lieu de $4n^2$. Une fois le développement posé, la réduction consiste à effectuer les carrés : $2^2 = 4$ et $5^2 = 25$. L'expression finale réduite est donc $4n^2 - 25$. Ce résultat est une forme simplifiée qui permet de calculer la valeur de l'expression pour n'importe quel nombre $n$ beaucoup plus rapidement que l'expression initiale.
Analyse méthodique de la Question 2 : L'application au calcul numérique
La force des mathématiques réside dans leur capacité à simplifier le réel. La question 2 demande de calculer $205 \times 195$. À première vue, il s'agit d'une multiplication fastidieuse à poser de tête. Cependant, la consigne précise 'En utilisant la question 1'. C'est un indice crucial qui indique un lien de parenté entre les nombres $205$ et $195$ et l'expression littérale précédente.
Cherchons la valeur de $n$ qui fait le lien. On remarque que $205 = 200 + 5$ et que $195 = 200 - 5$. En comparant avec $(2n + 5)(2n - 5)$, on identifie que $2n = 200$. Si $2n = 200$, alors $n = 100$. Grâce au travail de développement effectué précédemment, nous savons que cette multiplication est équivalente à $4n^2 - 25$. En remplaçant $n$ par $100$, le calcul devient enfantin : $4 \times 100^2 - 25$. Comme $100^2 = 10\,000$, on obtient $40\,000 - 25$. Le résultat final est $39\,975$. Ce processus démontre comment le calcul littéral devient un outil de performance pour le calcul mental et la simplification des tâches numériques complexes.
Les pièges classiques à éviter
Plusieurs erreurs récurrentes sont observées lors de la correction de ce type d'exercice au Brevet. Premièrement, l'erreur de signe : certains élèves confondent les identités remarquables et produisent des résultats comme $4n^2 + 25$ ou $4n^2 - 20n + 25$. Il est impératif de se souvenir que $(a+b)(a-b)$ est la seule identité qui ne possède pas de 'double produit'.
Deuxièmement, l'oubli des parenthèses lors de l'élévation au carré. Écrire $2n^2$ au lieu de $4n^2$ est l'erreur la plus coûteuse. Il faut bien comprendre que le carré 'distribue' sur le coefficient et sur la variable. Enfin, dans la partie numérique, l'erreur d'identification est fréquente. Il faut s'assurer que l'écart entre le nombre central (ici 200) et les deux facteurs est strictement le même (ici $+5$ et $-5$). Si l'on avait $206 \times 194$, la valeur de $b$ changerait, mais la méthode resterait identique.
Conseils de rédaction pour maximiser ses points
Pour obtenir la totalité des points au Brevet, la clarté de la démonstration compte autant que le résultat. Lors de la question 1, commencez par citer l'identité remarquable utilisée : 'On reconnaît la forme $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ avec $a=2n$ et $b=5$'. Cette phrase montre au correcteur que vous maîtrisez votre cours. Pour la question 2, explicitez clairement la substitution : 'On remarque que $205 = 200 + 5$ et $195 = 200 - 5$, ce qui correspond à l'expression de la question 1 avec $n=100$'. Ne sautez pas d'étapes de calcul. Écrivez la ligne $40\,000 - 25$ avant de donner le résultat final $39\,975$. Une copie bien structurée et justifiée est l'assurance d'une excellente note, car elle permet au correcteur de suivre votre raisonnement logique même si une petite erreur de calcul s'était glissée à la fin.