Introduction aux Grandeurs Composées et aux Aires

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2014 (Zone Amérique du Nord) est un classique incontournable pour les élèves de 3ème. Il mobilise des compétences transversales essentielles : la géométrie plane avec le calcul d'aire d'un disque, la maîtrise des grandeurs composées (vitesse et débit) et la gestion des durées. Comprendre la relation entre une surface, une vitesse d'écoulement et un débit volumique est fondamental non seulement pour l'examen, mais aussi pour les futurs enseignements en physique-chimie. Nous allons décomposer chaque étape pour transformer ce problème technique en une réussite méthodologique.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous présente une situation réelle : le remplissage d'une écluse via une Vantelle. La clé de la réussite réside ici dans la lecture attentive des unités. La formule $q = S \times v$ est fournie, ce qui simplifie le travail, mais attention aux pièges de conversion !

1. Calcul de l'aire de la Vantelle

La première question demande l'aire exacte en $m^2$. Le rayon $R$ est donné en centimètres ($30$ cm). Or, la formule du débit utilise des mètres carrés. Il est donc impératif de convertir le rayon en mètres avant tout calcul : $30 \text{ cm} = 0,3 \text{ m}$. La formule de l'aire d'un disque est $A = \pi \times R^2$. En remplaçant par les valeurs, nous obtenons $S = \pi \times 0,3^2 = 0,09\pi$. L'énoncé demandant la valeur exacte, on conserve le symbole $\pi$. L'aire exacte est donc $0,09\pi$ $m^2$.

2. Détermination du débit moyen

Pour le débit $q$, on utilise $q = S \times v$ avec $v = 2,8$ m.s$^{-1}$. En injectant la valeur exacte de $S$, on obtient $q = 0,09\pi \times 2,8$. À la calculatrice, cela donne environ $0,79168...$ L'énoncé impose un arrondi au millième (trois chiffres après la virgule). On regarde le quatrième chiffre : c'est un 6, on arrondit donc au supérieur. Le débit moyen est d'environ $0,792$ m$^3$.s$^{-1}$. Ce résultat signifie que chaque seconde, près de 800 litres d'eau traversent la Vantelle.

3. Calcul de la durée de remplissage

La dernière question porte sur le temps nécessaire pour remplir un volume $V = 756$ m$^3$. La relation liant débit, volume et temps est $q = V / t$, d'où $t = V / q$. En utilisant la valeur arrondie (ou mieux, la valeur exacte pour plus de précision), on calcule $756 / 0,792 \approx 954,5$ secondes. Pour répondre à la question comparative, il faut convertir $15$ minutes en secondes : $15 \times 60 = 900$ secondes. Comme $954,5 > 900$, on en conclut qu'on attendra effectivement plus de 15 minutes.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal de cet exercice est l'unité du rayon. Utiliser $30$ au lieu de $0,3$ conduirait à une erreur d'un facteur 10 000 ! Un autre point de vigilance est la gestion de la précision : n'arrondissez jamais vos résultats intermédiaires trop tôt. Gardez la valeur avec $\pi$ le plus longtemps possible pour que votre arrondi final au millième soit exact. Enfin, pour la conversion des minutes en secondes, rappelez-vous que le temps n'est pas en base 10 (système sexagésimal).

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre copie :
1. Annoncez la formule utilisée (ex: 'On sait que l'aire d'un disque est...').
2. Montrez vos conversions d'unités explicitement.
3. Donnez toujours la valeur exacte avant la valeur approchée.
4. Concluez par une phrase de réponse claire qui reprend les termes de la question, notamment pour la comparaison des 15 minutes.

Importance des Grandeurs Composées

Le débit est une grandeur composée car elle dépend de deux autres unités : le volume et le temps. Au Brevet, ces notions tombent fréquemment sous forme de calculs de vitesse, de consommation de carburant ou de débits hydrauliques. Maîtriser le passage de $m^3/s$ à $L/h$ par exemple, est un atout majeur qui valorisera votre copie auprès du correcteur.