Introduction aux notions du sujet de Polynésie 2014

Cet exercice 6 du Brevet des collèges 2014, session Polynésie, est un sujet complet qui mobilise trois piliers fondamentaux du programme de mathématiques de troisième : la géométrie plane avec le théorème de Pythagore, la gestion des grandeurs via les périmètres, et l'initiation au raisonnement algébrique (équations). L'originalité de cet énoncé réside dans son approche dynamique : l'utilisation d'un logiciel de géométrie (type GeoGebra) pour introduire un point mobile P. Cela demande à l'élève non seulement de maîtriser des calculs de base, mais aussi de comprendre la variation de grandeurs en fonction de la position d'un point. Réviser cet exercice permet de solidifier sa capacité à interpréter des données géométriques et à les traduire sous forme d'égalités numériques.

Analyse Méthodique : Question par Question

1. Construction du triangle ABC

La première question demande une construction en vraie grandeur. C'est une compétence de base, mais souvent négligée. Pour tracer le triangle ABC avec $AB = 5$ cm, $BC = 7,6$ cm et $AC = 9,2$ cm, l'utilisation du compas est indispensable. On commence par tracer le segment le plus long, $[AC]$, de 9,2 cm. Ensuite, on prend un écartement de compas de 5 cm depuis le point A et de 7,6 cm depuis le point C. L'intersection des deux arcs de cercle définit le point B. Cette étape visuelle permet d'anticiper la nature du triangle : il semble presque rectangle, mais l'œil peut nous tromper, d'où l'importance de la démonstration mathématique suivante.

2. ABC est-il un triangle rectangle ? (Réciproque de Pythagore)

Ici, on teste la validité du théorème de Pythagore. Pour savoir si le triangle est rectangle, on identifie d'abord le côté le plus long : ici $[AC]$ avec 9,2 cm. On calcule d'une part le carré de cette longueur : $AC^2 = 9,2^2 = 84,64$. D'autre part, on calcule la somme des carrés des deux autres côtés : $AB^2 + BC^2 = 5^2 + 7,6^2 = 25 + 57,76 = 82,76$. On constate que $84,64 \neq 82,76$. Puisque l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, on conclut par la contraposée du théorème de Pythagore que le triangle ABC n'est pas rectangle. Cet exercice montre que même si une figure ressemble à un triangle rectangle, seuls les calculs font foi au Brevet.

3. Étude du point mobile P et optimisation

La partie suivante introduit une dimension d'optimisation. On place un point P sur $[AC]$.
Question 3.a : Distance BP minimale. En géométrie, la distance la plus courte entre un point (B) et une droite ($AC$) est le segment perpendiculaire à cette droite. Il faut donc placer le point P au pied de la hauteur issue de B. On appelle cela le projeté orthogonal de B sur $[AC]$.
Question 3.b : Comparaison de périmètres. Si $AP = 5$ cm, alors $PC = AC - AP = 9,2 - 5 = 4,2$ cm. Le périmètre de ABP est $AB + BP + AP = 5 + BP + 5 = 10 + BP$. Le périmètre de BPC est $BC + BP + PC = 7,6 + BP + 4,2 = 11,8 + BP$. Puisque $11,8 + BP > 10 + BP$ quel que soit $BP$, c'est le triangle BPC qui possède le plus grand périmètre.
Question 3.c : Équilibre des périmètres (Équation). On cherche P tel que Périmètre(ABP) = Périmètre(BPC). Posons $x = AP$. Alors $PC = 9,2 - x$. L'égalité devient : $AB + BP + x = BC + BP + (9,2 - x)$. On remarque que la longueur $BP$, commune aux deux côtés, s'annule dans l'équation. Il reste : $5 + x = 7,6 + 9,2 - x$. En simplifiant : $5 + x = 16,8 - x$. On résout : $2x = 11,8$, soit $x = 5,9$ cm. Il faut donc placer P à 5,9 cm de A.

Les Pièges à éviter

Attention à la confusion entre périmètre et aire ! Dans cet exercice, on parle uniquement de périmètres (somme des côtés). Un autre piège classique est d'oublier de mentionner le nom de la propriété utilisée (Réciproque ou Contraposée de Pythagore) dans la question 2. Enfin, lors de la résolution de l'équation de la question 3.c, ne vous laissez pas déstabiliser par la longueur $BP$. Même si vous ne connaissez pas sa valeur, elle disparaît lors de la soustraction des deux membres de l'équation, ce qui est une astuce fréquente au Brevet.

Conseils de Rédaction pour le jour J

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre rédaction :
1. Pour Pythagore, commencez toujours par : 'Dans le triangle ABC, le côté le plus long est...'
2. Pour les calculs de périmètre, écrivez toujours la formule littérale avant de remplacer par les valeurs numériques.
3. Pour la construction, laissez les traits de construction au compas apparents, c'est une preuve de votre méthode.
4. N'oubliez jamais les unités (cm ou cm²) dans vos phrases de conclusion.