Introduction aux notions clés du Brevet 2014

Cet exercice issu du sujet de Mathématiques de la session 2014 (Métropole) est une excellente préparation pour les élèves de 3ème. Il aborde trois piliers fondamentaux du programme : les programmes de calculs, le calcul littéral et les équations. La structure de l'exercice est classique mais exigeante, car elle demande de passer d'un schéma logique à une expression algébrique, puis de tester des propriétés mathématiques (nombres négatifs, fractions, racines d'une équation et nature des fonctions). Maîtriser ce type d'énoncé est crucial pour obtenir une mention au Brevet des Collèges.

Analyse Méthodique de l'Exercice

La première étape consiste à comprendre la structure du programme de calcul. On part d'un nombre de départ, que nous appellerons \(x\). Le programme se divise en deux branches : l'une soustrait 6 (soit \(x - 6\)) et l'autre soustrait 2 (soit \(x - 2\)). Enfin, on multiplie ces deux résultats. L'expression générale du résultat est donc : \(f(x) = (x - 6)(x - 2)\).

Question 1 : Vérification par l'arithmétique

Pour montrer que le résultat est 12 en partant de 8, on applique le programme étape par étape :
1. Choisir 8.
2. Branche 1 : \(8 - 6 = 2\).
3. Branche 2 : \(8 - 2 = 6\).
4. Multiplication : \(2 \times 6 = 12\).
Le résultat est bien 12. Cette question est un point de départ rassurant qui permet de valider sa compréhension du schéma avant d'attaquer la partie littérale.

Question 2 : Analyse des quatre propositions

Proposition 1 : Le programme peut donner un résultat négatif.
Pour prouver qu'une affirmation est vraie, un contre-exemple ou un exemple spécifique suffit. Si l'on choisit un nombre compris entre 2 et 6, par exemple 4 :
\((4 - 6) \times (4 - 2) = (-2) \times 2 = -4\).
-4 est négatif, la proposition est donc Vraie. Cela demande une bonne maîtrise de la règle des signes lors de la multiplication d'un nombre négatif par un nombre positif.

Proposition 2 : Résultat avec une fraction.
Ici, on remplace \(x\) par \(\frac{1}{2}\). L'expression devient \((\frac{1}{2} - 6)(\frac{1}{2} - 2)\).
En réduisant au même dénominateur : \((\frac{1}{2} - \frac{12}{2})(\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) = (-\frac{11}{2}) \times (-\frac{3}{2}) = \frac{33}{4}\).
L'affirmation est Vraie. Ce point vérifie votre aisance avec le calcul fractionnaire.

Proposition 3 : Le résultat est 0 pour exactement deux nombres.
Cela revient à résoudre l'équation produit nul : \((x - 6)(x - 2) = 0\).
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On a donc deux solutions : \(x - 6 = 0 \implies x = 6\) ou \(x - 2 = 0 \implies x = 2\).
Il y a précisément deux nombres (2 et 6) qui donnent 0. L'affirmation est Vraie.

Proposition 4 : Nature de la fonction.
En développant l'expression \((x - 6)(x - 2)\), on obtient \(x^2 - 2x - 6x + 12 = x^2 - 8x + 12\).
Une fonction linéaire est de la forme \(f(x) = ax\). Or, ici, nous avons un terme en \(x^2\) (degré 2) et une constante. Il s'agit d'une fonction du second degré, pas d'une fonction linéaire. L'affirmation est Fausse.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est liée à la règle des signes lors de la multiplication des parenthèses dans la proposition 2. Rappelez-vous : "Moins par Moins égale Plus".
Un autre piège concerne la proposition 4 : beaucoup d'élèves pensent qu'une fonction est linéaire dès qu'elle contient des calculs. N'oubliez pas qu'une fonction linéaire doit obligatoirement passer par l'origine (0;0) et ne pas avoir d'exposant ou de constante ajoutée.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Justifiez systématiquement chaque proposition, même si ce n'est pas explicitement demandé (ici, l'énoncé le rappelait).
2. Utilisez un vocabulaire mathématique précis : "équation produit nul", "réduire au même dénominateur", "développement".
3. Encadrez vos résultats finaux. Une copie claire et structurée donne une impression positive au correcteur et facilite la lecture de votre raisonnement logique.