Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du Brevet des collèges de Nouvelle-Calédonie 2014 est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine deux piliers du programme de mathématiques : l'arithmétique (gestion des stocks et diviseurs) et les probabilités (calcul de chances d'un événement simple). Bien que certaines méthodes de calcul de diviseurs soient parfois classées comme 'hors programme' selon les années ou les réformes, la logique de partitionnement reste au cœur des compétences exigées. Nous allons décomposer ici l'utilisation du PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) pour la constitution de lots identiques et l'analyse fréquentielle pour la probabilité.

Analyse Méthodique : Question 1 - Le calcul du nombre de lots

La première question nous demande de constituer le plus grand nombre de lots identiques en utilisant l'intégralité du stock : 292 crayons, 219 règles et 73 calculatrices. En mathématiques, 'lots identiques' signifie que chaque lot doit contenir le même nombre d'objets de chaque catégorie, sans reste. Pour maximiser ce nombre, nous devons chercher un diviseur commun aux trois nombres : 292, 219 et 73. Plus précisément, nous cherchons le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).

Analysons les nombres en présence. On remarque rapidement que 73 est un nombre premier (il n'est divisible que par 1 et lui-même). Vérifions si 73 divise les autres stocks. Pour les crayons : $292 \div 73 = 4$. Pour les règles : $219 \div 73 = 3$. Puisque 73 divise parfaitement 292 et 219, et qu'il est lui-même le plus grand diviseur de 73, alors le PGCD de (292, 219, 73) est 73. On peut donc constituer au maximum 73 lots. La justification repose sur le fait que 73 est le plus grand entier divisant simultanément les trois quantités sans laisser de reste.

Analyse Méthodique : Question 2 - Composition des lots

Une fois le nombre de lots (73) déterminé, la composition de chaque lot découle d'une division simple. Il s'agit de répartir équitablement chaque type d'objet. Pour les crayons, nous avons $292 \div 73 = 4$. Pour les règles, $219 \div 73 = 3$. Pour les calculatrices, $73 \div 73 = 1$. Chaque lot sera donc composé de 4 crayons, 3 règles et 1 calculatrice. Il est crucial de préciser dans la rédaction que l'intégralité du stock est consommée car $73 \times 4 = 292$, $73 \times 3 = 219$ et $73 \times 1 = 73$.

Analyse Méthodique : Question 3 - Probabilités et effectifs

La dernière partie déplace le problème vers les probabilités. On nous indique qu'il y a 73 lots disponibles pour un effectif total de 80 élèves. La question porte sur la probabilité qu'un élève choisi au hasard ne reçoive aucun lot. C'est un calcul de probabilité simple basé sur le rapport : (Nombre de cas favorables) / (Nombre de cas total).

Le nombre total d'élèves est 80. Le nombre d'élèves recevant un lot est de 73 (un lot par élève). Par conséquent, le nombre d'élèves ne recevant aucun lot est de $80 - 73 = 7$. La probabilité recherchée est donc de $\frac{7}{80}$. En écriture décimale, cela nous donne $0,0875$, soit 8,75 %. Cette question demande une lecture attentive : l'élève doit bien identifier que l'événement 'ne recevoir aucun lot' correspond à la différence entre l'effectif et les cadeaux.

Les Pièges à éviter

Attention à ne pas vous lancer dans l'algorithme d'Euclide de manière automatique si les nombres présentent des évidences. Ici, identifier que $73 \times 3 = 219$ permet de gagner un temps précieux. Un autre piège fréquent concerne la question 3 : certains élèves pourraient calculer la probabilité de RECEVOIR un lot (73/80) au lieu de NE PAS en recevoir (7/80). Lisez toujours la consigne deux fois pour identifier la négation. Enfin, n'oubliez pas que dans un problème de partage, si on vous demande le 'plus grand nombre de lots', c'est le signal systématique pour utiliser le PGCD.

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour obtenir tous les points, votre rédaction doit être structurée. Pour l'arithmétique, commencez par une phrase type : 'On cherche le PGCD de 292, 219 et 73 pour déterminer le nombre maximal de lots identiques'. Présentez vos calculs clairement, même s'ils semblent simples. Pour la probabilité, énoncez toujours la formule de base : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}$. Donnez le résultat sous forme de fraction simplifiée ou de valeur décimale exacte, et terminez par une phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée.