Introduction aux notions de l'exercice 5 du Brevet 2014

Cet exercice, issu de la session 2014 à Pondichéry, est un classique incontournable du sujet de mathématiques du Brevet des Collèges. Il mobilise trois compétences fondamentales du programme de troisième : la maîtrise des volumes (cylindre, cône et tronc de cône), les propriétés d'agrandissement et de réduction, et enfin l'interprétation graphique liée aux fonctions. L'élève est ici confronté à une situation concrète : le remplissage d'une bouteille de forme complexe, ce qui demande une capacité d'abstraction pour modéliser le volume total accumulé en fonction de la hauteur de liquide.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Le calcul du volume cylindrique

La première question demande de calculer le volume de la partie inférieure de la bouteille. Pour cela, l'énoncé nous donne le diamètre de la base (10 cm) et la hauteur (15 cm). La première étape indispensable est de déterminer le rayon : $R = 10 / 2 = 5$ cm. La formule du volume d'un cylindre est donnée par : $V = \pi \times r^2 \times h$. En remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons $V = \pi \times 5^2 \times 15 = 375\pi$. C'est ici que l'élève doit être vigilant : on demande d'abord la valeur exacte. Il faut donc conserver $\pi$. Ensuite, pour l'arrondi au cm³, on utilise la calculatrice pour trouver environ $1178$ cm³.

2. Maîtrise du tronc de cône et réduction

La question 2 aborde la partie supérieure de la bouteille. Pour obtenir le volume $V_2$ du tronc de cône, la méthode la plus efficace consiste à soustraire le volume d'un petit cône (sommet S) du volume d'un grand cône.
a. Volume du grand cône : Avec une hauteur $SO = 6$ cm et un rayon de base de 5 cm, la formule $V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$ donne $V_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 6 = 50\pi$ cm³.
b. Volume du tronc de cône : Le petit cône est une réduction du grand cône. Le rapport de réduction $k$ est le rapport des hauteurs : $k = SO' / SO = 2 / 6 = 1/3$. Dans un agrandissement ou une réduction, si les longueurs sont multipliées par $k$, les volumes sont multipliés par $k^3$. Ainsi, $V_{\text{petit}} = V_1 \times (1/3)^3 = 50\pi \times 1/27 = \frac{50\pi}{27}$.
Le volume du tronc de cône est alors $V_2 = V_1 - V_{\text{petit}} = 50\pi - \frac{50\pi}{27} = \frac{1350\pi - 50\pi}{27} = \frac{1300\pi}{27}$. Cette démonstration rigoureuse permet de justifier la valeur exacte proposée par l'énoncé.

3. Interprétation graphique et fonctions

La dernière partie est la plus conceptuelle. On cherche le graphique représentant le volume $V(h)$ en fonction de la hauteur $h$.
Analyse du graphique 1 : C'est la bonne réponse. Pourquoi ? Au début (hauteur de 0 à 15 cm), la bouteille est un cylindre large. Le volume augmente de manière linéaire (droite passant par l'origine). Ensuite, le rayon diminue (tronc de cône puis goulot). Un goulot étroit signifie que pour une même augmentation de hauteur, on ajoute beaucoup moins de volume. La pente du graphique doit donc diminuer. C'est exactement ce que montre le Graphique 1 : la pente s'adoucit vers la fin.
Pourquoi éliminer les autres ? Le Graphique 2 montre un volume qui diminue, ce qui est impossible lors d'un remplissage. Le Graphique 3 montre un volume qui s'accélère à la fin (pente qui augmente), ce qui correspondrait à une bouteille qui s'élargit en haut. Le Graphique 4 ne part pas de l'origine (il y aurait déjà du liquide à $h=0$), ce qui est incohérent.

Les Pièges à éviter

Le premier piège est l'oubli de la division du diamètre par 2 pour obtenir le rayon. Une erreur classique consiste à calculer $\pi \times 10^2 \times 15$. Le deuxième piège réside dans le rapport de réduction : beaucoup d'élèves oublient d'élever le rapport $k$ au cube pour les volumes. Enfin, dans l'analyse graphique, il ne faut pas confondre la 'forme' de la bouteille avec la 'forme' de la courbe. Une bouteille qui rétrécit produit une courbe dont la croissance ralentit.

Conseil de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation des formules. Énoncez toujours la formule littérale avant l'application numérique. Pour la question 2b, précisez bien que vous utilisez les propriétés d'agrandissement-réduction. Pour la question 3, procédez par élimination en justifiant pourquoi chaque graphique ne convient pas ; les correcteurs apprécient cette démarche logique rigoureuse.