Introduction aux notions du Brevet 2014

L'exercice 7 du sujet Brevet Métropole 2014 est un cas pratique de géométrie appliquée. Il mobilise trois piliers du programme de 3ème : le calcul de volumes (parallélépipède rectangle et prisme), la proportionnalité (masse volumique et prix) et le théorème de Pythagore pour la détermination de longueurs manquantes en situation réelle. Ce type d'exercice, dit 'tâche complexe', demande une lecture attentive pour lier les différentes informations par étapes logiques.

Analyse de la Question 1 : Le coût d'une botte de paille

Pour justifier le prix de $0,51$ €, il faut procéder par étapes en respectant scrupuleusement les unités. C'est le piège classique des examens. Les dimensions sont données en centimètres : $90 \text{ cm}$, $45 \text{ cm}$ et $35 \text{ cm}$. Pour utiliser la masse volumique donnée en $\text{kg/m}^3$ (Information 3), la conversion en mètres est obligatoire.

Le volume d'une botte est $V = 0,9 \times 0,45 \times 0,35 = 0,14175 \text{ m}^3$. Une fois ce volume obtenu, on applique la proportionnalité : si $1 \text{ m}^3$ pèse $90 \text{ kg}$, alors $0,14175 \text{ m}^3$ pèsent $0,14175 \times 90 = 12,7575 \text{ kg}$. Enfin, le prix est donné à la tonne ($1000 \text{ kg}$). Le calcul final est donc $(12,7575 / 1000) \times 40 = 0,5103$. L'arrondi au centime donne bien $0,51$ €.

Analyse de la Question 2.a : Calcul du nombre de bottes pour l'isolation

Cette partie demande une vision spatiale du bâtiment. L'isolation se fait sur la surface grisée du toit. Cette surface est composée de deux rectangles identiques. Pour trouver leur aire, il nous faut la longueur du pan de toit (l'hypoténuse dans le triangle rectangle formant la charpente).

D'après le schéma, la base totale est de $3,6 \text{ m}$. Le triangle rectangle au sommet a donc une base de $3,6 / 2 = 1,8 \text{ m}$. Sa hauteur est la différence entre la hauteur totale et la hauteur des murs : $7,7 \text{ m} - 5 \text{ m} = 2,7 \text{ m}$. En appliquant le théorème de Pythagore, la longueur $L$ du pan de toit est : $L^2 = 1,8^2 + 2,7^2 = 3,24 + 7,29 = 10,53$. On a donc $L = \sqrt{10,53} \approx 3,245 \text{ m}$.

L'aire totale à isoler est donc $2 \times (15,3 \times 3,245) \approx 99,3 \text{ m}^2$. Puisque l'épaisseur de l'isolation ($35 \text{ cm}$) correspond exactement à l'épaisseur d'une botte, nous devons seulement couvrir la surface avec les faces de $90 \text{ cm} \times 45 \text{ cm}$. La surface couverte par une botte est $0,9 \times 0,45 = 0,405 \text{ m}^2$. Le nombre de bottes nécessaires est $99,3 / 0,405 \approx 245,18$. Dans un contexte réel, on arrondit à l'unité supérieure : **246 bottes**.

Les Pièges à éviter

1. **Les Unités** : C'est la cause de $80\%$ des erreurs sur cet exercice. Travailler toujours en mètres pour les volumes et surfaces si les données de référence (tonnes, $\text{m}^3$) sont dans ce système.
2. **Le toit double** : Beaucoup d'élèves oublient de multiplier par 2 la surface du toit, ne calculant qu'un seul versant.
3. **Le théorème de Pythagore** : Ne pas oublier que la base du triangle rectangle est la moitié de la largeur du bâtiment ($1,8 \text{ m}$ et non $3,6 \text{ m}$).

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points, détaillez chaque étape. Commencez par 'Calcul de la masse d'une botte', puis 'Calcul de la surface du toit'. Citez explicitement le théorème de Pythagore en nommant le triangle, même si le schéma n'utilise pas de lettres pour tous les points. Concluez toujours par une phrase réponse claire avec l'unité correcte.