Introduction aux statistiques et probabilités au Brevet

L'exercice 4 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2014 (Métropole) constitue un pilier fondamental du programme de 3ème. Il articule trois domaines interconnectés : les statistiques descriptives, les probabilités et l'usage des outils numériques (tableur). L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à passer d'une observation fréquentielle (constatée par l'expérience ou la simulation) à une déduction théorique (probabiliste). Dans cet énoncé, nous manipulons un sac de 20 jetons de quatre couleurs différentes (jaune, vert, rouge, bleu). Cette situation classique de 'tirage au hasard avec remise' permet d'illustrer la loi des grands nombres : plus on multiplie les tirages, plus la fréquence observée tend vers la probabilité réelle.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Analyse de la représentation graphique

La première question demande d'identifier la couleur la plus présente dans le sac à partir d'un graphique de fréquences réalisé après 1000 tirages. Le professeur utilise ici une simulation, ce qui est une méthode courante en mathématiques pour estimer des probabilités inconnues. Le raisonnement : Sur le graphique (fourni dans le sujet original), on observe que la barre correspondant à une couleur spécifique est nettement plus haute que les autres. Étant donné que l'expérience a été répétée 1000 fois (un échantillon statistiquement représentatif), la couleur ayant la fréquence la plus élevée est nécessairement celle qui possède le plus grand nombre de jetons dans le sac. En 3ème, il est essentiel de comprendre que la fréquence est le rapport entre le nombre de succès et le nombre total d'essais.

2. Maîtrise du tableur et des formules de calcul

La question 1.b porte sur l'outil tableur, une compétence de plus en plus sollicitée au Brevet. On nous présente une feuille de calcul avec trois colonnes : 'Nombre de tirages' (Colonne A), 'Nombre de fois où un jeton rouge est apparu' (Colonne B) et 'Fréquence d'apparition' (Colonne C). L'objectif est de trouver la formule saisie en C2. Le raisonnement pédagogique : La fréquence se calcule en divisant l'effectif partiel par l'effectif total. Ici, pour le premier tirage, l'effectif partiel est en B2 et le nombre de tirages est en A2. La formule doit donc commencer par le signe '='. La réponse attendue est =B2/A2. Il est crucial d'expliquer aux élèves que le tableur permet d'automatiser ce calcul sur des milliers de lignes par simple 'cliquer-glisser'.

3. Passage de la probabilité à l'effectif réel

La dernière question nous donne une information théorique : la probabilité de tirer un jeton rouge est de $\dfrac{1}{5}$. On sait également que le sac contient un total de 20 jetons. Le raisonnement mathématique : La probabilité dans une situation d'équiprobabilité (chaque jeton a la même chance d'être tiré) est définie par le rapport : (Nombre de cas favorables) / (Nombre de cas possibles). Ici, $\dfrac{\text{Nombre de jetons rouges}}{20} = \dfrac{1}{5}$. Pour trouver le nombre de jetons rouges, on résout l'équation ou on utilise la proportionnalité : $20 \times \dfrac{1}{5} = 4$. Il y a donc 4 jetons rouges dans le sac.

Les Pièges à éviter le jour de l'examen

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points sur ce type d'exercice :

• L'oubli du signe '=' : Dans une question sur le tableur, une formule qui ne commence pas par '=' est considérée comme fausse.
• Confondre effectif et fréquence : L'effectif est un nombre entier (combien de jetons), tandis que la fréquence est un nombre entre 0 et 1 (ou un pourcentage).
• Mauvaise lecture d'énoncé : Attention à bien vérifier le nombre total de jetons. Ici, c'est 20, mais certains élèves pourraient utiliser 1000 (le nombre de tirages de la simulation) par erreur pour calculer la composition du sac.
• La justification non demandée : En 1.a, l'énoncé précise 'Aucune justification n'est attendue'. Ne perdez pas de temps à rédiger un paragraphe, une réponse directe suffit.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour la question 1.b, écrivez clairement la formule du tableur en respectant la syntaxe. Pour la question 2, présentez votre calcul de manière structurée : 1. Rappelez la probabilité donnée. 2. Indiquez le nombre total de jetons. 3. Posez l'opération (multiplication de la fraction par le total). 4. Concluez par une phrase simple : 'Le sac contient donc 4 jetons rouges'. Une copie propre et aérée avec des résultats encadrés est toujours mieux valorisée par le correcteur. Ce chapitre sur les statistiques et probabilités est souvent perçu comme facile, c'est donc l'occasion idéale de sécuriser des points pour l'obtention de la mention au Brevet.