Introduction aux Fonctions et Modélisation au Brevet
L'exercice 7 du sujet Brevet 2014 (Zone Amérique du Nord) est un cas d'école particulièrement intéressant pour les élèves de 3ème. Il combine l'usage d'une formule algébrique complexe (incluant une racine carrée), la résolution d'équations et l'analyse graphique. L'objectif pédagogique est de démontrer comment les mathématiques permettent de modéliser un phénomène physique réel : la vitesse d'écoulement de l'eau lors du remplissage d'une écluse. Ce type d'exercice est fréquent au Brevet car il évalue la capacité de l'élève à extraire des informations d'un énoncé technique, à manipuler des expressions littérales et à interpréter des représentations graphiques.
Analyse de la Formule et Calcul de Vitesse (Question 1)
La première étape consiste à comprendre la variable de sortie, la vitesse $v$, en fonction des variables d'entrée $h$ (hauteur amont) et $x$ (niveau dans l'écluse). La formule donnée est $v = \sqrt{2g(h - x)}$. Ici, $g$ est une constante de pesanteur ($9,81$). Pour réussir cette question, il ne faut pas se laisser impressionner par la racine carrée. La méthode consiste à substituer chaque lettre par sa valeur numérique donnée dans le texte : $h = 4,3$ m et $x = 1,8$ m au moment de l'ouverture. Le calcul devient alors : $v = \sqrt{2 \times 9,81 \times (4,3 - 1,8)}$. En effectuant d'abord la soustraction entre parenthèses ($2,5$), puis le produit ($49,05$), on obtient $v = \sqrt{49,05}$. La calculatrice affiche environ $7,00357...$. L'énoncé demande un arrondi à l'unité, ce qui donne $7$ m/s. L'attention portée à l'ordre des opérations (Priorités opératoires) et à la précision de l'arrondi est ici le critère d'évaluation principal.
Résolution de l'Équation et Interprétation Physique (Question 2)
La question 2 introduit la notion d'équation. On cherche la valeur de $x$ pour laquelle $v = 0$. Mathématiquement, cela revient à résoudre l'équation $\sqrt{2g(h - x)} = 0$. Un produit de facteurs sous une racine est nul si et seulement si l'expression sous la racine est nulle. Puisque $2$ et $g$ ne sont pas nuls, c'est obligatoirement le terme $(h - x)$ qui doit l'être. On en déduit $h - x = 0$, soit $x = h$. Comme $h = 4,3$, alors $x = 4,3$ m. L'interprétation physique est cruciale pour obtenir tous les points : quand la vitesse d'écoulement est nulle, cela signifie que le niveau de l'eau dans l'écluse a atteint le niveau du canal amont. L'équilibre des pressions est atteint, et l'eau s'arrête de circuler. C'est le principe même de fonctionnement d'une écluse pour permettre le passage d'un bateau.
Maîtrise de la Lecture Graphique (Question 3)
La dernière partie de l'exercice déplace l'évaluation vers la compétence 'Communiquer' et 'Représenter'. L'élève doit lire la vitesse pour une hauteur $x = 3,4$ m. Sur l'axe des abscisses (horizontal), il faut repérer la valeur $3,4$, monter verticalement jusqu'à rencontrer la courbe bleue, puis projeter ce point horizontalement sur l'axe des ordonnées (vertical). Le graphique, avec son quadrillage orange précis, permet de déterminer la valeur avec une bonne approximation. On observe que pour $x = 3,4$, la vitesse $v$ se situe aux alentours de $4,2$ m/s. Pour vérifier par le calcul (conseillé au brouillon), on ferait : $v = \sqrt{19,62 \times (4,3 - 3,4)} = \sqrt{19,62 \times 0,9} = \sqrt{17,658} \approx 4,2$. La lecture graphique doit être claire et les traits de construction laissés apparents sur la copie pour justifier la démarche auprès du correcteur.
Pièges à éviter et Conseils de Rédaction
Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points. Premièrement, l'oubli des unités : une vitesse s'exprime en m/s et une hauteur en m. Deuxièmement, la confusion entre les variables $h$ et $x$. Relisez bien le schéma : $h$ est fixe, $x$ varie au fur et à mesure que l'écluse se remplit. Pour la rédaction, soyez rigoureux : annoncez la formule utilisée, détaillez les étapes de calcul, et concluez par une phrase répondant précisément à la question. N'oubliez pas que l'examinateur évalue votre raisonnement autant que le résultat final. En mathématiques, la clarté de la démonstration est la clé du succès au Brevet.