Introduction à la Trigonométrie au Brevet

La trigonométrie est l'un des piliers fondamentaux du programme de mathématiques en classe de 3ème. Elle permet de lier les mesures des angles aux longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Dans cet exercice issu du Brevet des collèges 2014 (Zone Amérique du Nord), nous sommes confrontés à une application concrète : le calcul de la dimension des portes d'une écluse, appelées portes « busquées ». Ce type de problème est particulièrement apprécié des examinateurs car il demande à l'élève de passer d'un schéma technique à un modèle mathématique abstrait.

Analyse du Schéma et Modélisation

Pour résoudre ce problème, la première étape consiste à décoder l'illustration fournie. On nous présente une écluse de largeur $AB = 5,8$ m. Les deux portes, de longueurs identiques, se rejoignent en un point $P$ pour former un angle vers l'amont. Cette forme triangulaire n'est pas fortuite ; elle permet de mieux résister à la pression hydrostatique.

Considérons le triangle formé par les deux portes et la largeur de l'écluse. Puisque les portes ont la même longueur, nous sommes en présence d'un triangle isocèle en $P$. Pour utiliser la trigonométrie, nous devons travailler dans un triangle rectangle. Traçons la hauteur issue de $P$ qui vient couper le segment $[AB]$ perpendiculairement en un point que nous nommerons $H$. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base. Par conséquent, $H$ est le milieu de $[AB]$. Nous en déduisons que :
$AH = 5,8 / 2 = 2,9$ m.

Le Choix de la Formule Trigonométrique

Le triangle $APH$ est rectangle en $H$. Nous connaissons :
1. La longueur du côté adjacent à l'angle $\widehat{PAH}$ (ou l'angle complémentaire selon la lecture du schéma). Sur le schéma, l'angle de $55^{\circ}$ est donné entre la porte et la paroi latérale de l'écluse.
2. La paroi étant perpendiculaire à la droite $(AB)$, l'angle $\widehat{PAH}$ est le complémentaire de l'angle de $55^{\circ}$.
Ainsi, $\widehat{PAH} = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}$.

Dans le triangle $APH$ rectangle en $H$, nous cherchons la longueur de la porte, qui correspond à l'hypoténuse $AP$. Nous connaissons le côté adjacent $AH = 2,9$ m et l'angle $\widehat{PAH} = 35^{\circ}$. La formule liant l'angle, le côté adjacent et l'hypoténuse est le cosinus :
$\cos(\widehat{PAH}) = \frac{AH}{AP}$
$\cos(35^{\circ}) = \frac{2,9}{AP}$

Calcul et Précision des Résultats

Pour isoler $AP$, nous procédons à un produit en croix :
$AP = \frac{2,9}{\cos(35^{\circ})}$.
À l'aide de la calculatrice (en mode Degrés), nous obtenons :
$AP \approx \frac{2,9}{0,81915...} \approx 3,5402...$ m.

L'énoncé demande une précision au centimètre près. Le centimètre correspond au deuxième chiffre après la virgule (les centièmes de mètre). En observant le troisième chiffre (0), nous conservons la valeur :
La longueur d'une porte est d'environ 3,54 m.

Les Pièges à Éviter en Trigonométrie

Plusieurs erreurs classiques peuvent faire perdre des points lors de l'épreuve :
1. Le mode de la calculatrice : C'est l'erreur la plus fréquente. Assurez-vous que votre calculatrice affiche un petit 'D' ou 'DEG'. Si elle est en Radian (R) ou Grade (G), vos résultats seront totalement faux.
2. L'identification des côtés : Ne confondez pas le côté opposé et le côté adjacent. Le côté adjacent est celui qui « touche » l'angle (autre que l'hypoténuse).
3. La lecture du schéma : Ici, l'angle de $55^{\circ}$ n'est pas directement dans le triangle rectangle que nous avons utilisé pour le calcul. Il fallait bien déduire l'angle complémentaire ou utiliser le sinus dans une autre configuration.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Le correcteur n'attend pas seulement un résultat, mais une démarche scientifique structurée :
1. Citez le triangle : Commencez toujours par « Dans le triangle APH rectangle en H... ».
2. Énoncez la formule : Écrivez la formule avec les lettres avant de remplacer par les valeurs numériques.
3. La trace de recherche : Comme l'indique l'énoncé de 2014, même si vous n'aboutissez pas, montrez vos schémas, vos tentatives de calculs de sinus ou cosinus. Le barème du Brevet valorise la prise d'initiative.

Conclusion pédagogique

Cet exercice est une excellente synthèse car il combine géométrie plane (propriété du triangle isocèle), gestion des angles et maîtrise des outils de calcul. En maîtrisant le triptyque SOH-CAH-TOA, vous vous assurez une réussite sereine sur ce type de question fréquente au Brevet des collèges.