Introduction aux concepts clés du Brevet 2014

L'exercice 4 du sujet de Pondichéry 2014 est un grand classique des épreuves de mathématiques du Diplôme National du Brevet. Il mobilise trois piliers fondamentaux du programme de troisième : le Théorème de Pythagore, le Théorème de Thalès, et des notions de Trigonométrie. L'objectif pédagogique est double : d'une part, tester la capacité de l'élève à identifier la configuration géométrique appropriée (triangle rectangle ou droites parallèles) et, d'autre part, évaluer sa rigueur dans la rédaction d'une démonstration mathématique.

Analyse du Parcours ACDA : L'utilisation de Pythagore

Le premier parcours proposé est le triangle ACD. L'énoncé et le codage de la figure nous indiquent que le triangle ACD est rectangle en C (présence d'un angle droit). Nous connaissons les longueurs des deux côtés de l'angle droit : $AC = 1,4$ km et $CD = 1,05$ km. Pour calculer la longueur totale du parcours, il nous manque l'hypotenuse AD.

Dans le triangle ACD rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore, nous avons la relation : $AD^2 = AC^2 + CD^2$. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient $AD^2 = 1,4^2 + 1,05^2 = 1,96 + 1,1025 = 3,0625$. En extrayant la racine carrée, on trouve $AD = 1,75$ km. La longueur totale du parcours ACDA est donc la somme de ses trois côtés : $1,4 + 1,05 + 1,75 = 4,2$ km.

Analyse du Parcours AEFA : L'application de Thalès

Le second parcours, AEFA, nécessite le calcul de la longueur EF. L'énoncé précise explicitement que les droites $(E'F')$ et $(EF)$ sont parallèles. Nous sommes donc dans une configuration classique du théorème de Thalès au sein du triangle AEF. Les points A, E', E d'une part, et A, F', F d'autre part, sont alignés dans cet ordre.

D'après le théorème de Thalès, nous pouvons établir l'égalité des rapports suivants : $AE' / AE = AF' / AF = E'F' / EF$. En utilisant les valeurs connues ($AE' = 0,5$ km, $AE = 1,3$ km et $E'F' = 0,4$ km), nous pouvons écrire : $0,5 / 1,3 = 0,4 / EF$. Par un produit en croix, on obtient $EF = (1,3 \times 0,4) / 0,5 = 1,04$ km. Le périmètre du parcours AEFA est donc : $AE + EF + FA = 1,3 + 1,04 + 1,6 = 3,94$ km.

L'apport de la Trigonométrie et des Angles

Bien que Thalès permette de résoudre directement le calcul de EF, l'énoncé mentionne un angle $\widehat{A}$ de 30° dans le triangle AEF. Dans d'autres variantes de cet exercice, la trigonométrie aurait pu être utilisée si la longueur AF n'était pas donnée mais que le triangle était rectangle. Ici, cet angle est une donnée supplémentaire qui permettrait de vérifier la cohérence de la figure ou de calculer des hauteurs. Pour un élève de 3ème, il est crucial de savoir naviguer entre Thalès (quand on a des parallèles) et la Trigonométrie (quand on a un angle et un triangle rectangle). Ici, la présence de parallèles rend Thalès prioritaire et plus précis.

Comparaison et Conclusion de l'exercice

Le conseil municipal souhaite le parcours le plus proche de 4 km. Comparons les deux résultats obtenus :
- Parcours ACDA : $4,2$ km (écart de 0,2 km avec l'objectif).
- Parcours AEFA : $3,94$ km (écart de 0,06 km avec l'objectif).
Le parcours AEFA est celui qui s'approche le plus de la cible de 4 km. La différence n'est que de 60 mètres, contre 200 mètres pour le premier parcours.

Les pièges à éviter

1. **L'échelle de la figure** : L'énoncé prévient que la figure n'est pas à l'échelle. Ne mesurez jamais à la règle pour trouver une réponse !
2. **La rédaction** : Ne donnez pas le résultat brut. Citez toujours le nom du théorème utilisé et vérifiez que les conditions d'application (triangle rectangle pour Pythagore, droites parallèles pour Thalès) sont bien mentionnées.
3. **Unités** : Assurez-vous que toutes les mesures sont dans la même unité (ici, tout est en km, ce qui simplifie le travail). Si certaines valeurs étaient en mètres, une conversion préalable serait obligatoire.

Conseils de rédaction pour le jour du Brevet

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse en trois étapes : 'Je sais que', 'J'utilise le théorème de...', 'Donc'. Par exemple : 'Dans le triangle ACD rectangle en C, j'utilise le théorème de Pythagore...'. Cela montre au correcteur que vous maîtrisez la logique mathématique au-delà du simple calcul numérique. N'oubliez pas de conclure par une phrase explicative répondant précisément à la question posée par la commune.