Introduction aux notions d'Arithmétique et de Tableur

L'exercice 1 du brevet des collèges 2014 (Série Étrangers) est un classique incontournable qui croise deux compétences majeures du socle commun : la maîtrise des outils numériques (le tableur) et la compréhension des propriétés de divisibilité (l'arithmétique). Dans cet énoncé, nous sommes face à un algorithme de calcul automatisé qui vise à déterminer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux nombres entiers, 216 et 126, par la méthode des soustractions successives. Comprendre comment un logiciel comme Excel ou LibreOffice Calc traite ces données est essentiel pour réussir l'épreuve de mathématiques moderne.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Question 1 : La logique de la soustraction en cellule C1

En observant la première ligne du tableau, nous voyons en A1 la valeur 216 et en B1 la valeur 126. La cellule C1 contient 90. Le calcul mental est immédiat : $216 - 126 = 90$. L'élève doit donc identifier que la cellule C effectue la différence entre les deux premières colonnes. La formule à saisir est =A1-B1. Attention : L'oubli du signe égal (=) est une erreur fréquente qui coûte des points. Ce signe indique au logiciel qu'il s'agit d'une opération mathématique et non d'un simple texte. La recopie vers le bas permet d'appliquer cette soustraction de manière relative sur chaque ligne (A2-B2, A3-B3, etc.).

Question 2 : Automatisation avec les fonctions MAX et MIN

C'est ici que l'exercice devient technique. L'objectif de l'algorithme des soustractions successives est de toujours soustraire le plus petit nombre du plus grand. Pour que le tableur continue le calcul en ligne 2, il doit récupérer les deux nombres restants de la ligne 1 (le petit nombre initial et la différence obtenue) et les ranger à nouveau du plus grand au plus petit. En A2, nous constatons la valeur 126. Pourquoi ? Parce que 126 est le maximum entre 126 (B1) et 90 (C1). La formule saisie en A2 est donc =MAX(B1;C1). Symétriquement, en B2, on utiliserait =MIN(B1;C1). Cette structure conditionnelle permet de maintenir l'ordre nécessaire à la poursuite de l'algorithme sans intervention humaine.

Question 3 : Interprétation arithmétique (Le PGCD)

Le tableau s'arrête ou montre une répétition lorsqu'on atteint la valeur 0 dans la colonne des différences. En cellule C5, nous voyons le nombre 18, et en ligne 6, nous voyons $18 - 18 = 0$. Selon la propriété de l'algorithme de soustraction, le dernier reste non nul (ou la dernière différence identique avant le zéro) est le Plus Grand Commun Diviseur. Ainsi, le nombre 18 représente le PGCD(216, 126). C'est le plus grand entier capable de diviser simultanément 216 et 126 sans laisser de reste. Cette notion est fondamentale pour la simplification des fractions et la résolution de problèmes de partage équitable.

Question 4 : Simplification de fraction et irréductibilité

La fraction proposée est $\dfrac{216}{126}$. Pour savoir si une fraction est irréductible, on vérifie si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Or, nous venons de démontrer que leur PGCD est 18. Puisque le PGCD est supérieur à 1, la fraction n'est pas irréductible. Pour la simplifier au maximum en une seule étape, il suffit de diviser le haut et le bas par ce PGCD : $216 \div 18 = 12$ et $126 \div 18 = 7$. La fraction irréductible est donc $\dfrac{12}{7}$. Détailler ce calcul montre au correcteur que vous avez fait le lien direct entre l'outil tableur et la théorie des nombres.

Les Pièges à Éviter

• Confondre MAX et MIN : Si vous inversez les fonctions en A2 et B2, le tableur affichera des nombres négatifs en colonne C, ce qui stoppera net l'algorithme du PGCD.
• Mauvaise lecture du tableau : Prenez le temps de vérifier la ligne 5. La cellule C5 est bien le résultat de $36 - 18$, ce qui confirme que 18 est le diviseur commun cherché.
• Rédaction incomplète : Pour la question 4, ne donnez pas juste le résultat. Écrivez : "Le PGCD de 216 et 126 étant 18, la fraction n'est pas irréductible car 216 et 126 sont divisibles par 18."

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Sur votre copie, présentez clairement vos formules de tableur en utilisant la syntaxe standard (lettres pour les colonnes, chiffres pour les lignes). Pour l'arithmétique, utilisez le vocabulaire précis : "diviseur", "commun", "irréductible". Justifiez toujours pourquoi vous affirmez qu'un nombre est le PGCD en citant l'algorithme utilisé (ici, la méthode des soustractions successives mise en évidence par le tableau). Cela valorisera votre copie auprès des correcteurs qui cherchent à évaluer votre capacité de raisonnement au-delà du simple résultat numérique.