Introduction aux concepts de l'exercice

Cet exercice issu du Brevet de Mathématiques 2014 (Zone Polynésie) est un classique incontournable du programme de 3ème. Il combine habilement plusieurs compétences fondamentales : la gestion des programmes de calculs, la maîtrise de l'outil tableur, le développement du calcul littéral et la résolution d'équations. L'objectif pédagogique ici est de faire passer l'élève d'une approche arithmétique (tester des nombres) à une approche algébrique (prouver une conjecture pour n'importe quel nombre $x$). Dans le cadre de la préparation au diplôme national du brevet, ce type d'exercice permet de vérifier si l'élève est capable de modéliser un problème par une expression mathématique et de manipuler des formules informatiques simples.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice commence par une phase d'appropriation. On nous présente deux programmes, A et B. Le programme A demande de soustraire 0,5 puis de multiplier par le double du nombre de départ. Mathématiquement, si on choisit $x$, cela se traduit par $(x - 0,5) \times 2x$. Le programme B, quant à lui, demande de calculer le carré, de multiplier par 2, puis de soustraire le nombre de départ, soit $2x^2 - x$.

Étape 1 : Vérification et Calcul Arithmétique

La question 1 est une mise en jambe. Pour le programme A avec le nombre 10 : on fait $10 - 0,5 = 9,5$, puis on multiplie par le double de 10 ($20$), ce qui donne bien $9,5 \times 20 = 190$. Pour le programme B avec 10 : on calcule le carré de 10 ($100$), on multiplie par 2 ($200$), puis on soustrait 10. Le résultat est $200 - 10 = 190$. Cette étape est cruciale pour l'élève car elle permet de vérifier sa compréhension des consignes avant d'entrer dans l'abstraction. Si vous n'obtenez pas 190 à la question 1.a, relisez bien l'énoncé : l'erreur classique consiste à oublier de doubler le nombre de départ lors de la multiplication finale.

Étape 2 : L'outil Tableur et la Formulation

La question 2 introduit le tableur, un outil central au Brevet. On observe que les colonnes B et C affichent des résultats identiques pour les lignes 2 à 7. On nous demande la formule en C2. Puisqu'il s'agit du programme B appliqué au nombre en A2, la formule est : =2*A2^2-A2 ou =2*A2*A2-A2. L'utilisation du signe égal est obligatoire pour toute formule de tableur. La conjecture qui découle naturellement de l'observation du tableau est que les deux programmes de calcul semblent donner le même résultat quel que soit le nombre choisi au départ.

Étape 3 : La Preuve par le Calcul Littéral

C'est ici que l'expertise en calcul littéral intervient. Pour prouver la conjecture, il faut démontrer que l'expression de A est égale à celle de B pour tout $x$. En développant l'expression du programme A : $(x - 0,5) \times 2x = x \times 2x - 0,5 \times 2x = 2x^2 - 1x = 2x^2 - x$. On constate que cette expression simplifiée est rigoureusement identique à celle du programme B. La conjecture est donc démontrée. Cette question est celle qui rapporte le plus de points car elle valide la capacité de l'élève à passer du particulier au général.

Étape 4 : Résolution d'Équation Produit Nul

La dernière question demande de trouver les nombres de départ pour obtenir 0. Cela revient à résoudre l'équation $2x^2 - x = 0$. C'est un piège classique pour les élèves de 3ème qui ne connaissent pas encore le second degré. L'astuce consiste à factoriser par $x$ : $x(2x - 1) = 0$. On se retrouve face à une équation produit nul. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Soit $x = 0$, soit $2x - 1 = 0$ (ce qui donne $x = 0,5$). Les deux nombres à choisir sont donc 0 et 0,5.

Les Pièges à Éviter

Attention à la rédaction ! Ne vous contentez pas de donner les résultats. Précisez bien les étapes de votre développement littéral. Dans la partie tableur, n'oubliez pas les coordonnées des cellules (A2, B2). Dans la résolution d'équation, l'erreur la plus fréquente est d'oublier la solution $x = 0$ en divisant par $x$, ce qui est interdit si $x$ peut être nul. Gardez toujours en tête que le calcul littéral nécessite de la rigueur dans la gestion des signes et des priorités opératoires.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points : 1. Encadrez vos résultats finaux. 2. Justifiez la conjecture par une phrase claire comme : 'On peut conjecturer que les deux programmes sont équivalents'. 3. Pour la preuve, écrivez bien 'Pour tout nombre x choisi au départ...'. Une présentation propre et aérée facilite le travail du correcteur et témoigne de votre sérieux.