Introduction au Théorème de Thalès dans le Brevet

L'épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges (DNB) accorde une importance capitale à la géométrie plane. L'exercice 7 du sujet Amerique du Sud 2014 est un cas d'école parfait pour réviser le théorème de Thalès dans une situation concrète. Ici, le candidat est invité à résoudre un problème de vie réelle : aider Joachim à déterminer la largeur d'une rivière. Cette mise en situation permet d'évaluer non seulement les compétences techniques de calcul de longueurs, mais aussi la capacité à modéliser une situation spatiale par une configuration géométrique rigoureuse.

Analyse Méthodique de l'Énoncé

Pour réussir cet exercice, la première étape consiste à extraire les données mathématiques du texte narratif. L'énoncé précise que Joachim se déplace sur une rive rectiligne. On identifie deux triangles qui partagent un sommet commun : le rocher (R). Les points clés sont A (l'arbre), D (le point de départ sur la rive), R (le rocher), V (le point sur la rive à l'opposé de B) et B (le point d'observation). Le texte indique un déplacement à angle droit, ce qui est l'indice crucial pour prouver le parallélisme. En effet, si les droites (AD) et (BV) sont toutes deux perpendiculaires à la rive (DV), alors elles sont parallèles entre elles. Cette condition est indispensable pour appliquer le théorème de Thalès. Les mesures fournies sont : $RD = 20$ m, $RV = 12$ m et $VB = 15$ m. L'objectif final est de calculer la longueur $AD$.

Le Raisonnement Mathématique Étape par Étape

Pour rédiger une réponse qui obtiendra le maximum de points, il faut suivre une structure logique immuable. Tout d'abord, nommez les triangles en présence : les triangles $RAD$ et $RVB$. Précisez ensuite les conditions d'application : 1. Les points D, R, V sont alignés. 2. Les points A, R, B sont alignés. 3. Les droites $(AD)$ et $(VB)$ sont parallèles (car perpendiculaires à la même droite $(DV)$). Une fois ces conditions posées, vous pouvez invoquer le Théorème de Thalès. Selon ce théorème, il y a proportionnalité entre les côtés des deux triangles, ce qui nous donne l'égalité de rapports suivante : $\frac{RD}{RV} = \frac{RA}{RB} = \frac{AD}{VB}$.

Le Calcul Final et la Conclusion

À partir de l'égalité $\frac{RD}{RV} = \frac{AD}{VB}$, nous pouvons isoler l'inconnue $AD$. En remplaçant par les valeurs numériques de l'énoncé, nous obtenons : $\frac{20}{12} = \frac{AD}{15}$. En utilisant le produit en croix (ou la quatrième proportionnelle), le calcul devient : $AD = \frac{20 \times 15}{12}$. $20 \times 15$ nous donne $300$, et $300$ divisé par $12$ est égal à $25$. La largeur de la rivière (la distance AD) est donc de $25$ mètres. L'énoncé nous indique que Joachim possède une corde de $30$ mètres. Puisque $25 < 30$, nous pouvons confirmer avec certitude que sa décision est correcte : la corde est assez longue pour être installée entre les points D et A.

Les Pièges à Éviter lors de l'Examen

Le premier piège est l'oubli de la justification du parallélisme. Beaucoup d'élèves appliquent Thalès directement sans expliquer pourquoi les droites sont parallèles. N'oubliez jamais : pas de parallélisme, pas de Thalès ! Le deuxième piège réside dans l'inversion des rapports. Veillez à toujours mettre les longueurs du petit triangle au numérateur et celles du grand triangle au dénominateur (ou l'inverse), mais ne mélangez pas les deux au sein d'une même égalité. Enfin, faites attention aux unités : ici tout est en mètres, mais un changement d'unité surprise est un classique des sujets de Brevet pour tester votre vigilance.

Conseils de Rédaction pour le DNB

La consigne stipule que 'toute trace de réponse, même incomplète, sera prise en compte'. Cela signifie que même si vous ne parvenez pas au résultat final de $25$ mètres, vous devez noter vos idées sur votre copie. Dessinez un schéma simplifié, écrivez les formules que vous connaissez, et expliquez votre démarche. Pour une rédaction parfaite, utilisez des connecteurs logiques : 'On sait que', 'Or', 'D'après le théorème de...', 'Donc'. Une copie propre et bien structurée met le correcteur dans de bonnes dispositions et garantit la valorisation de votre raisonnement pédagogique.