Introduction aux notions de géométrie du Brevet

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2014 (Sujet Étrangers) est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine plusieurs compétences fondamentales : la maîtrise du raisonnement logique via le format « Vrai ou Faux », la géométrie plane classique et l'application de la trigonométrie. L'objectif ici n'est pas seulement de donner une réponse, mais de démontrer la véracité ou la fausseté d'une affirmation en s'appuyant sur des propriétés géométriques précises. En mathématiques, une affirmation est fausse dès qu'il existe un contre-exemple, alors qu'elle doit être prouvée par un théorème pour être déclarée vraie.

Analyse méthodique question par question

1. Le triangle inscrit dans un cercle

L'affirmation est : « Tout triangle inscrit dans un cercle est rectangle. » C'est un piège classique sur les propriétés du cercle circonscrit. En 3ème, nous étudions le théorème qui stipule que si un côté d'un triangle est le diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle. L'élément clé ici est le mot « Tout ». Un triangle quelconque peut être inscrit dans un cercle (chaque triangle possède un cercle circonscrit unique passant par ses trois sommets), mais il n'est rectangle que si l'un de ses côtés est un diamètre.
Conclusion : C'est FAUX. Un triangle équilatéral peut être inscrit dans un cercle sans être rectangle.

2. Propriété de la médiatrice d'un segment

L'affirmation énonce : « Si un point M appartient à la médiatrice d'un segment [AB] alors le triangle AMB est isocèle. » Pour répondre, il faut revenir à la définition même de la médiatrice. La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points situés à égale distance des extrémités de ce segment. Par conséquent, si $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$, alors la distance $MA$ est égale à la distance $MB$ ($MA = MB$). Par définition, un triangle possédant deux côtés de même longueur est un triangle isocèle en $M$.
Conclusion : C'est VRAI. C'est l'application directe de la propriété d'équidistance de la médiatrice.

3. Trigonométrie et calcul de longueur

On nous présente un triangle $ABC$ avec $BC = 8$ cm, un angle $\widehat{B} = 60^\circ$ et on nous demande si $AB = 4$ cm. L'observation de la figure (bien que non à l'échelle) montre un triangle qui semble rectangle en $A$. Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors nous pouvons utiliser les formules de trigonométrie (CAH-SOH-TOA). Dans ce cas, $[AB]$ est le côté adjacent à l'angle de $60^\circ$ et $[BC]$ est l'hypoténuse. On aurait : $\cos(60^\circ) = \frac{AB}{BC}$.
En remplaçant par les valeurs : $\cos(60^\circ) = 0,5$. Donc $0,5 = \frac{AB}{8}$, ce qui donne $AB = 8 \times 0,5 = 4$ cm.
Cependant, l'énoncé ne précise pas explicitement que le triangle est rectangle en $A$. Sans cette information cruciale (ou un codage de l'angle droit), on ne peut pas utiliser la trigonométrie du triangle rectangle de manière certaine. Néanmoins, dans le cadre d'un exercice de Brevet, si la question suggère une valeur précise via la trigonométrie, il convient de vérifier si cette valeur est cohérente.
Conclusion : On ne peut pas savoir (si l'angle droit n'est pas codé) ou VRAI (si l'on considère la figure comme rectangle en $A$).

4. Nature du quadrilatère ABCD

L'affirmation est : « Le quadrilatère ABCD ci-contre est un carré. » L'analyse visuelle du codage est primordiale. La figure indique quatre côtés de même longueur grâce aux symboles de codage (les petits traits). Un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur est un losange. La figure indique également la présence d'un angle droit au sommet $A$. Or, un losange qui possède un angle droit est un carré.
Conclusion : C'est VRAI. Les propriétés combinées du losange et de l'angle droit définissent strictement un carré.

Les pièges à éviter au Brevet

Le principal piège dans ce type d'exercice est de se fier uniquement à l'aspect visuel de la figure. L'énoncé précise d'ailleurs : « les figures tracées ne respectent ni les mesures de longueur, ni les mesures d'angle ». Cela signifie que vous devez vous baser uniquement sur les codages (symboles d'égalité de longueur, symboles d'angle droit) et sur les propriétés mathématiques apprises en cours. Un autre piège est la confusion entre une propriété et sa réciproque. Par exemple, pour la question 1, il ne faut pas confondre « triangle rectangle implique inscription dans un demi-cercle » avec « tout triangle inscrit est rectangle ».

Conseils de rédaction pour gagner des points

Pour chaque réponse « Vrai » ou « Faux », vous devez structurer votre explication ainsi :
1. Énoncer votre choix (Vrai/Faux).
2. Citer la propriété ou le théorème utilisé (ex: « Je sais que si un point est sur la médiatrice... alors... »).
3. Conclure par rapport aux données de l'exercice.
Une réponse correcte sans explication ne rapporte généralement aucun point ou seulement une fraction des points au Brevet. Soyez rigoureux dans l'utilisation du vocabulaire géométrique : segment, longueur, côté adjacent, hypoténuse.