Introduction : La Modélisation Géométrique d'un Problème Réel

L'exercice 6 du Brevet de Mathématiques 2014 (Série Métropole) est un cas d'école particulièrement intéressant car il demande aux élèves de passer d'une situation concrète — le réglage des feux de croisement d'une voiture — à une modélisation géométrique rigoureuse. Cet exercice mobilise deux piliers majeurs du programme de 3ème : le Théorème de Thalès (ou la proportionnalité dans les triangles semblables) et la Trigonométrie dans le triangle rectangle. L'objectif pédagogique est double : vérifier la capacité de l'élève à extraire des données d'un schéma complexe et à appliquer des formules mathématiques pour valider une conformité technique.

Analyse Question 1 : Calcul de l'inclinaison et soustraction de segments

Pour la première question, il s'agit de vérifier la valeur de l'inclinaison. Le texte nous définit l'inclinaison par le rapport $\dfrac{QK}{QP}$. Cependant, la longueur $QK$ n'est pas donnée directement. C'est ici que l'analyse du schéma intervient. On observe que les points $Q, K, C$ sont alignés verticalement et que le phare $P$ est situé à une hauteur $PA = 0,65$ m du sol. Puisque le mur est vertical et le sol horizontal, nous sommes en présence d'un rectangle $PQCA$ (ou du moins d'un trapèze rectangle si l'on considère uniquement la projection). La distance $QC$ est donc égale à la hauteur du phare $PA$, soit $QC = 0,65$ m. Pour trouver $QK$, il faut soustraire la hauteur de la tache lumineuse $CK$ à la hauteur totale $QC$ : $QK = QC - CK = 0,65 - 0,58 = 0,07$ m. Une fois $QK$ obtenu, on calcule le rapport : $\dfrac{0,07}{5} = 0,014$. Le résultat est validé, et l'élève peut confirmer que l'inclinaison est conforme car $0,01$ < $0,014$ < $0,015$.

Analyse Question 2 : Utiliser la Trigonométrie pour trouver l'angle

La deuxième question demande de calculer l'angle $\widehat{QPK}$. Dans le triangle $PQK$, qui est rectangle en $Q$ (car le mur est vertical et la ligne de visée $PQ$ est horizontale), nous connaissons le côté opposé à l'angle, $QK = 0,07$ m, et le côté adjacent, $QP = 5$ m. La fonction trigonométrique appropriée est donc la tangente. La formule s'énonce ainsi : $\tan(\widehat{QPK}) = \dfrac{QK}{QP}$. En remplaçant par les valeurs, on obtient $\tan(\widehat{QPK}) = 0,014$. Pour trouver la mesure de l'angle, l'élève doit utiliser la touche 'Arctan' ou '2nd Tan' de sa calculatrice : $\widehat{QPK} = \arctan(0,014) \approx 0,802^{\circ}$. L'énoncé demande un arrondi au dixième, la réponse attendue est donc $0,8^{\circ}$. Cet angle très faible illustre bien la réalité physique d'un faisceau lumineux qui doit rester proche de l'horizontale pour ne pas éblouir les autres conducteurs.

Analyse Question 3 : Calcul de la portée des feux avec Thalès

La question finale porte sur la distance d'éclairage $AS$. Le triangle $PAS$ est rectangle en $A$. Le faisceau lumineux suit la droite $(PS)$. Les points $P, K, S$ sont alignés, tout comme les points $Q, K, C$. On peut aborder cette question de deux manières : soit par la trigonométrie dans le triangle $PAS$, soit par le théorème de Thalès. Par la trigonométrie, on sait que $\tan(\widehat{APS})$ est le même rapport d'inclinaison (si l'on considère l'angle de chute du faisceau par rapport à l'horizontale). Attention cependant, l'angle calculé précédemment est $\widehat{QPK}$. Dans le triangle $PAS$ rectangle en $A$, l'angle $\widehat{PSA}$ est égal à l'angle $\widehat{QPK}$ (angles alternes-internes ou simplement par définition de la pente). Ainsi, $\tan(\widehat{PSA}) = \dfrac{PA}{AS}$. En isolant $AS$, on obtient : $AS = \dfrac{PA}{\tan(\widehat{PSA})} = \dfrac{0,65}{0,014} \approx 46,42$ m. En arrondissant au mètre près, la distance d'éclairage $AS$ est de $46$ mètres. Par Thalès, on pourrait dire que les triangles $PQK$ et $PAS$ sont dans une configuration de réduction/agrandissement, d'où $\dfrac{QK}{QP} = \dfrac{PA}{AS}$, ce qui mène au même calcul.

Les Pièges Classiques et Conseils de Rédaction

Plusieurs erreurs peuvent coûter des points lors de cet exercice. Premièrement, la confusion des unités : bien que tout soit ici en mètres, il arrive souvent que des données soient en centimètres. Il faut toujours vérifier la cohérence. Deuxièmement, l'arrondi : si l'élève arrondit trop tôt ses calculs intermédiaires (par exemple en arrondissant $0,014$), le résultat final pour la distance $AS$ sera faussé. Enfin, la rédaction est primordiale. Pour la question 2, il est impératif de préciser que le triangle est rectangle avant d'utiliser la trigonométrie. Pour la question 3, si l'on utilise Thalès, il faut mentionner que les droites $(QK)$ et $(PA)$ sont parallèles, ce qui se justifie par le fait qu'elles sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(AS)$.

Conclusion : Un exercice complet pour réviser la 3ème

En résumé, cet exercice du Brevet 2014 est un excellent test pour évaluer la maîtrise de la géométrie plane. Il oblige l'élève à ne pas se contenter d'appliquer des formules, mais à comprendre le sens physique des variables (hauteur, inclinaison, portée). Pour réussir, la clé est de bien schématiser les triangles rectangles et de ne pas se laisser impressionner par l'aspect technique du problème de départ.