Introduction aux notions de Géométrie Plane

Cet exercice issu du Brevet 2014 de Nouvelle-Calédonie est un classique incontournable pour tout élève de troisième. Il mobilise des compétences fondamentales en Géométrie plane, notamment la construction de figures géométriques précises, l'application rigoureuse du théorème de Thalès et le calcul de périmètres de figures composées (triangles et quadrilatères). La maîtrise de ces notions est cruciale car elles représentent souvent une part importante des points lors de l'examen final. Dans cette analyse, nous allons décortiquer chaque étape pour transformer cet énoncé en une réussite méthodologique.

Analyse Méthodique de l'Exercice

La première phase est celle de la construction. On nous demande de construire un triangle $ABC$ isocèle en $A$. Rappelons qu'un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. Ici, $AB = 5$ cm, ce qui implique que $AC = 5$ cm également. La base $BC$ mesure $2$ cm. Pour une construction parfaite, utilisez votre compas pour reporter la longueur de $5$ cm depuis les points $B$ et $C$ afin de trouver le sommet $A$. Ensuite, le placement du point $M$ sur le segment $[AB]$ tel que $BM = 2$ cm nous permet de déduire immédiatement la longueur $AM$. Puisque $M$ appartient à $[AB]$, alors $AM = AB - BM = 5 - 2 = 3$ cm. Cette étape préparatoire est la clé de la suite de l'exercice.

La question 2 porte sur le calcul de longueurs via le théorème de Thalès. La configuration est idéale : nous avons deux droites $(BC)$ et $(MN)$ qui sont parallèles par construction. Les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre. On peut donc écrire l'égalité des rapports : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$. En remplaçant par les valeurs connues ($AM=3, AB=5, AC=5, BC=2$), on obtient : $\frac{3}{5} = \frac{AN}{5} = \frac{MN}{2}$. Par produit en croix, le calcul de $AN$ devient trivial : $AN = \frac{3 \times 5}{5} = 3$ cm. Pour $MN$, le calcul est : $MN = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$ cm. La justification doit impérativement citer le parallélisme et l'alignement des points.

La question 3 nous demande de comparer des périmètres. C'est ici que l'élève doit faire preuve de rigueur. Le périmètre du triangle $AMN$ est la somme de ses trois côtés : $P(AMN) = AM + MN + AN = 3 + 1,2 + 3 = 7,2$ cm. Pour le quadrilatère $BMNC$, il s'agit d'un trapèze. Son périmètre est $P(BMNC) = BM + MN + NC + BC$. Nous savons que $BM = 2$, $MN = 1,2$, $BC = 2$. Il nous manque $NC$. Puisque $N$ est sur $[AC]$, $NC = AC - AN = 5 - 3 = 2$ cm. Ainsi, $P(BMNC) = 2 + 1,2 + 2 + 2 = 7,2$ cm. Nous constatons alors que les deux périmètres sont rigoureusement égaux.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est de se tromper dans le calcul de $AM$. Beaucoup d'élèves confondent la position du point $M$ et utilisent $BM$ dans le rapport de Thalès au lieu de $AM$. N'oubliez jamais que les rapports de Thalès partent toujours du sommet commun aux deux triangles (ici le point $A$). Une autre source d'erreur réside dans le calcul du périmètre du quadrilatère : certains élèves oublient le côté $MN$ qui est commun à la fois au triangle et au quadrilatère, ou calculent mal la longueur $NC$. Enfin, faites attention aux unités : toutes les longueurs doivent être exprimées en centimètres pour que l'égalité des périmètres soit cohérente.

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, votre rédaction doit être structurée. Pour Thalès, utilisez la phrase type : "Dans le triangle $ABC$, $M$ est un point de $[AB]$, $N$ est un point de $[AC]$. Comme les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, d'après le théorème de Thalès, on a...". Pour la question sur les périmètres, détaillez bien chaque somme de segments avant de passer à l'application numérique. Une figure propre, même si elle est faite au brouillon, aide énormément à ne pas se tromper dans les segments à additionner. La clarté est votre meilleure alliée pour séduire le correcteur !