Introduction aux notions clés du sujet
Cet exercice du Brevet 2014 pour la zone Amérique du Sud est un exemple parfait de l'interdisciplinarité en mathématiques au collège. Il mêle la gestion des durées (conversions sexagésimales), l'utilisation d'un tableur pour automatiser des calculs, et l'introduction à la notion de fonction et de modélisation algébrique. L'objectif est de traduire une situation réelle (une course de voiliers) en un modèle mathématique exploitable pour résoudre un système d'équations qui ne dit pas son nom.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Conversion des durées en minutes
La première étape cruciale consiste à convertir des heures et minutes en minutes totales. C'est une compétence de base souvent négligée. Pour le parcours de 2012, nous avons 8 heures et 40 minutes. Puisqu'une heure contient 60 minutes, le calcul est : $8 \times 60 + 40 = 480 + 40 = 520$ minutes. Pour 2013, le temps est de 8 heures et 25 minutes, soit $8 \times 60 + 25 = 480 + 25 = 505$ minutes. Ces valeurs serviront de points de repère pour identifier la solution dans le tableur.
2. Modélisation sur tableur et formules
L'exercice demande de traduire des relations de texte en langage tableur. Dans la cellule B1, nous avons la valeur $x$, qui représente la durée de la boucle courte. L'énoncé précise que la boucle longue dure 15 minutes de plus. La formule en B2 est donc : =B1+15. Attention, au Brevet, on attend l'utilisation des références de cellules et non la lettre de la variable.
Ensuite, la formule en B3, =2*B1+3*B2, correspond au calcul de la durée totale en 2012 (2 boucles courtes + 3 boucles longues). Pour 2013 (3 boucles courtes + 2 boucles longues), la formule en B4 sera donc : =3*B1+2*B2. Cette étape montre comment le tableur permet de tester plusieurs hypothèses de valeurs pour $x$ instantanément.
3. Exploitation des résultats et interprétation
La question 3 demande de projeter un calcul pour $x=105$ (cellule H1). En suivant les formules précédentes : dans H2, on aura $105+15=120$. Dans H3, $2 \times 105 + 3 \times 120 = 210 + 360 = 570$. Dans H4, $3 \times 105 + 2 \times 120 = 315 + 240 = 555$.
Enfin, pour déterminer les durées réelles, il suffit de regarder dans le tableau fourni à quelle valeur de $x$ les résultats correspondent à nos conversions initiales (520 min pour 2012 et 505 min pour 2013). En observant la colonne F ($x=95$), on lit 520 en ligne 3 et 505 en ligne 4. La durée d'une boucle courte est donc de 95 minutes, et celle d'une boucle longue est de 110 minutes ($95+15$).
Les Pièges à Éviter
L'erreur la plus fréquente réside dans la conversion des durées : ne confondez jamais le système décimal et le système sexagésimal. $8,40$ heures n'est pas égal à $8$ heures et $40$ minutes. Une autre difficulté est l'oubli du symbole '=' au début de chaque formule tableur, ce qui invaliderait la réponse en examen. Enfin, veillez à bien lire l'énoncé pour différencier les coefficients attribués aux boucles courtes et longues selon l'année (2 et 3 en 2012 vs 3 et 2 en 2013).
Conseils de Rédaction
Pour obtenir le maximum de points : détaillez vos calculs de conversion au début de votre copie. Lorsque vous donnez une formule tableur, écrivez-la exactement comme elle apparaîtrait sur l'écran (avec le signe égal). Pour la conclusion, faites une phrase réponse claire citant les unités (minutes) et vérifiez la cohérence avec les données de l'énoncé (aucune boucle en moins de 75 minutes, ce qui est bien respecté ici avec 95 et 110 min).