Introduction aux notions du Brevet 2014

Cet exercice, issu du sujet de Pondichéry de 2014, est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui balaie un large spectre du programme de mathématiques de troisième. Il exige une maîtrise de plusieurs compétences fondamentales : le calcul numérique (racines carrées), la géométrie (aires et périmètres), l'analyse de fonctions, la gestion des probabilités et le calcul littéral (factorisation). Ce format d'exercice est stratégique pour l'examen, car il permet de gagner des points rapidement si l'on possède les bons réflexes conceptuels.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'analyse détaillée de chaque question permet de comprendre les enjeux théoriques sous-jacents.

1. Racines carrées et priorités

La première question porte sur $\sqrt{(-5)^2}$. C'est un classique du calcul numérique. La règle fondamentale à retenir est que le carré d'un nombre, qu'il soit positif ou négatif, est toujours positif. Ici, $(-5)^2 = 25$. Par conséquent, la question revient à calculer $\sqrt{25}$, ce qui donne $5$. La confusion fréquente est de penser que la racine carrée et le carré s'annulent purement et simplement pour donner le nombre initial $-5$. Cependant, par définition, une racine carrée est toujours un nombre positif. Il faut donc appliquer la propriété $\sqrt{a^2} = |a|$.

2. Aires et Périmètres : Distinction conceptuelle

La deuxième question interroge la relation entre l'aire et le périmètre d'une surface. C'est une notion de géométrie souvent mal comprise. Deux figures peuvent avoir la même surface (aire) sans pour autant avoir le même contour (périmètre). Par exemple, un rectangle de 4 cm par 1 cm a une aire de 4 cm² et un périmètre de 10 cm. Un carré de 2 cm par 2 cm a également une aire de 4 cm², mais son périmètre est de 8 cm. Ainsi, avoir la même aire n'implique pas d'avoir le même périmètre, et vice versa. La réponse correcte souligne cette indépendance relative des deux grandeurs.

3. Analyse de Fonctions : Réduction d'expression

Pour la fonction $f(x) = 3x - (2x + 7) + (3x + 5)$, l'objectif est de réduire l'expression pour identifier sa nature. En supprimant les parenthèses (attention au signe 'moins' devant la première parenthèse), on obtient : $f(x) = 3x - 2x - 7 + 3x + 5$. En regroupant les termes en $x$, nous avons $3x - 2x + 3x = 4x$. Pour les constantes, $-7 + 5 = -2$. L'expression simplifiée est donc $f(x) = 4x - 2$. Sous cette forme $ax + b$, on reconnaît immédiatement une fonction affine. Elle n'est pas linéaire car $b \neq 0$.

4. Probabilités et Indépendance au Loto

La question sur le loto est un excellent test de culture statistique. En mathématiques, et plus précisément en probabilités, les tirages successifs d'un loto sont considérés comme des événements indépendants. Cela signifie que le résultat d'un tirage n'est en aucun cas influencé par les résultats des tirages précédents. Qu'un numéro soit sorti souvent ou jamais ne change pas sa probabilité de sortir au tirage suivant. L'enquête sur le passé n'a donc aucune valeur prédictive pour le futur. C'est ce qu'on appelle l'absence de mémoire du hasard.

5. Calcul Littéral : Factorisation et Identités Remarquables

La dernière question demande de factoriser $(x - 1)^2 - 16$. Un élève averti reconnaîtra l'identité remarquable du type $a^2 - b^2$, qui se factorise en $(a - b)(a + b)$. Ici, $a = (x - 1)$ et $b = 4$ (car $16 = 4^2$). En appliquant la formule, on obtient : $[(x - 1) - 4][(x - 1) + 4]$, ce qui se simplifie en $(x - 5)(x + 3)$. Le piège aurait été de développer l'expression au lieu de la factoriser, ou de se tromper dans les signes lors de la réduction des termes.

Les Pièges à Éviter

Le principal piège du QCM est la précipitation. Dans la question 1, l'élève pressé choisira $-5$. Dans la question 3, l'erreur classique est d'oublier de changer les signes à l'intérieur de la parenthèse précédée d'un signe moins : $-(2x + 7)$ devient $-2x - 7$ et non $-2x + 7$. Enfin, en probabilités, il ne faut pas se laisser influencer par ses intuitions (la croyance en une 'loi des séries'), mais rester ancré dans la théorie des événements indépendants.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour un QCM au Brevet, la consigne est claire : ne recopiez que la réponse exacte sans justifier. Cependant, pour arriver à cette réponse sans erreur, il est impératif d'utiliser son brouillon. Notez chaque étape du calcul littéral ou de la réduction de fonction. Même si la justification n'est pas demandée sur la copie finale, elle est votre seule garantie de ne pas cocher la mauvaise case par distraction. Relisez bien l'énoncé pour vérifier si une seule ou plusieurs réponses sont possibles (ici, une seule).