Introduction aux Compétences de Gestion de Données

Cet exercice issu du Brevet des collèges 2014 (Série Polynésie) est un modèle d'application concrète des mathématiques dans la vie quotidienne. Il sollicite quatre compétences majeures du programme de 3ème : la recherche d'informations dans des documents variés (textes, graphiques, tableaux), le traitement de données statistiques, la maîtrise des pourcentages d'évolution et la mise en forme d'un problème sous forme d'équations ou d'inéquations. L'objectif ici est de déterminer un seuil de rentabilité pour une location saisonnière, une problématique classique en gestion financière simplifiée.

Analyse Méthodique de l'Information 1 : Le Diagramme en Bâtons

La première étape consiste à extraire les données du graphique représentant les dépenses mensuelles de 2013. C'est une compétence clé en statistiques. L'élève doit lire précisément l'ordonnée de chaque bâton :
- Janvier, Février, Mars, Avril : 250 € par mois (soit $4 \times 250 = 1000$ €).
- Mai : 450 €.
- Juin, Juillet, Août, Septembre : 550 € par mois (soit $4 \times 550 = 2200$ €).
- Octobre : 300 €.
- Novembre, Décembre : 150 € par mois (soit $2 \times 150 = 300$ €).

Le total des dépenses pour l'année 2013 est la somme de ces valeurs : $1000 + 450 + 2200 + 300 + 300 = 4250$ €. Cette lecture rigoureuse est le socle de tout l'exercice. Une erreur de lecture sur un seul mois fausserait l'intégralité du résultat final.

Traitement des Pourcentages : Le Passage à l'Année 2014

L'énoncé indique une augmentation de 6 % des dépenses pour l'année 2014. En mathématiques, appliquer une augmentation de $t\%$ revient à multiplier par le coefficient multiplicateur $(1 + t/100)$. Ici, le coefficient est $(1 + 6/100) = 1,06$.
Le calcul est donc : $4250 \times 1,06 = 4505$ €.
Cette justification est indispensable. L'élève doit montrer qu'il comprend le lien entre une variation en pourcentage et l'opérateur multiplicatif associé. C'est souvent ici que les points de rédaction sont gagnés ou perdus.

Analyse des Frais Fixes : Le Remboursement du Prêt

L'information 2 introduit une dépense constante : le remboursement bancaire. Il s'agit d'un montant mensuel de 700 €, versé chaque mois de l'année, qu'il y ait des locataires ou non. Pour l'année complète, la dépense est de $700 \times 12 = 8400$ €.
Il ne faut pas oublier que la maison reste inoccupée une partie de l'année, mais que le prêt, lui, court sur les 12 mois. Le total des charges à couvrir pour 2014 est donc la somme des dépenses de fonctionnement et du remboursement bancaire : $4505 + 8400 = 12905$ €.

Modélisation Algébrique de la Location

L'objectif final est de trouver le prix de location hebdomadaire (appelons-le $x$) pour la période de haute saison (du 05/07 au 23/08). Le tableau nous donne les informations de revenus :
1. Période 1 (4 semaines) : $4 \times 750 = 3000$ €.
2. Période 2 (7 semaines) : $7 \times x$.
3. Période 3 (5 semaines) : $5 \times 750 = 3750$ €.

Le revenu total est donc : $3000 + 3750 + 7x = 6750 + 7x$.
Pour couvrir les frais, le couple doit s'assurer que le revenu est au moins égal aux charges totales calculées précédemment. On pose l'équation (ou l'inéquation) :
$6750 + 7x \ge 12905$.

Résolution :
$7x \ge 12905 - 6750$
$7x \ge 6155$
$x \ge 6155 / 7$
$x \ge 879,28...$

L'énoncé demande un tarif arrondi à la dizaine d'euros supérieure pour couvrir les frais. Le tarif minimal est donc de 880 € par semaine.

Les Pièges à Éviter

1. L'oubli du prêt : Beaucoup d'élèves se concentrent uniquement sur les dépenses du graphique et oublient d'ajouter les 8400 € de la banque.
2. L'erreur de période : Bien compter le nombre de mois pour le prêt (12 mois) et le nombre de semaines pour la location (16 semaines au total).
3. Le coefficient multiplicateur : Ne pas confondre une hausse de 6 % (multiplier par 1,06) avec un calcul de 6 % seul (multiplier par 0,06) qui ne donnerait que l'augmentation et non le nouveau total.
4. L'unité : Toujours préciser l'unité (€) et la temporalité (par semaine, par an).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre copie avec des titres clairs : 'Calcul des dépenses 2013', 'Prévisions 2014', 'Calcul du seuil de rentabilité'. Chaque calcul doit être précédé d'une phrase d'explication. Par exemple : 'Calculons le montant total des remboursements de prêt sur l'année'. Enfin, n'oubliez pas la phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée, en respectant les consignes d'arrondi (ici, la dizaine d'euros).