Introduction : La Géométrie au service de l'histoire
Cet exercice du Brevet 2014 (Zone Étrangers) nous plonge dans l'histoire des mathématiques avec un problème attribué à Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci. Bien que cet auteur soit célèbre pour sa suite numérique, il a également grandement contribué à la géométrie pratique. Ici, l'objectif est de mobiliser le théorème de Pythagore dans un contexte concret : une lance s'appuyant contre une tour. Ce type d'exercice est un grand classique du programme de 3ème car il demande à l'élève de transformer un énoncé narratif en un modèle mathématique rigoureux, précisément un triangle rectangle.
Analyse Méthodique : Modéliser pour réussir
Pour résoudre ce problème, il est impératif de décomposer la situation en deux étapes distinctes. La lance, initialement, est posée verticalement contre le mur. Puisqu'elle mesure 20 pieds, le sommet de la lance atteint exactement une hauteur de 20 pieds sur la tour. C'est notre point de départ. Ensuite, on écarte le pied de la lance de 12 pieds de la base de la tour.
Le raisonnement doit alors s'orienter vers la géométrie plane. Considérons un triangle rectangle formé par la tour (verticale), le sol (horizontal) et la lance dans sa position inclinée. La tour et le sol étant perpendiculaires, nous sommes en présence d'un triangle rectangle. La lance représente l'hypoténuse de ce triangle, sa longueur reste inchangée : 20 pieds. La base du triangle (au sol) mesure 12 pieds. Nous cherchons la hauteur actuelle de la lance sur le mur pour ensuite en déduire de combien elle est descendue.
Appliquons le théorème de Pythagore. Soit $x$ la hauteur de la lance sur le mur. D'après l'égalité de Pythagore, nous avons : $x^2 + 12^2 = 20^2$. En développant, on obtient $x^2 + 144 = 400$. En isolant l'inconnue, $x^2 = 400 - 144$, soit $x^2 = 256$. Pour trouver $x$, nous calculons la racine carrée : $\sqrt{256} = 16$. La lance se trouve donc désormais à 16 pieds du sol sur le mur de la tour.
La question finale : Calculer la descente
Attention, l'exercice ne demande pas la hauteur finale, mais de combien descend l'autre extrémité. Initialement, la lance était à 20 pieds de hauteur. Maintenant, elle est à 16 pieds. Le calcul est simple mais crucial : $20 - 16 = 4$. La lance a donc glissé de 4 pieds le long du mur. Ce petit piège final est caractéristique des sujets de Brevet qui testent la lecture attentive de la consigne.
Les Pièges à éviter en Mathématiques
Le premier piège est l'oubli de la racine carrée à la fin du théorème de Pythagore. Beaucoup d'élèves s'arrêtent à $256$ sans réaliser que cette valeur est incohérente avec la situation réelle. Le deuxième piège est lié aux unités : ici, on travaille en pieds. Bien qu'une note précise qu'un pied vaut 30 cm, il ne faut surtout pas convertir les données ! Cela compliquerait inutilement les calculs avec des nombres décimaux alors que les valeurs en pieds sont des entiers parfaits (un triplet pythagoricien 12-16-20, qui est un multiple du célèbre 3-4-5).
Conseil de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, ta rédaction doit suivre une structure logique. Commencez par nommer le triangle et précisez qu'il est rectangle : 'On considère le triangle rectangle formé par la tour, le sol et la lance'. Citez explicitement le théorème utilisé : 'D'après le théorème de Pythagore'. Présentez l'égalité littérale avant de passer aux chiffres. Enfin, n'oubliez pas la phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée, en mentionnant l'unité (les pieds).