Introduction aux Fonctions et à la Cinématique au Brevet
L'exercice 1 du Brevet de Mathématiques 2014 (Zone Métropole) est un classique incontournable qui lie deux domaines fondamentaux du programme de troisième : les fonctions et les grandeurs composées (vitesses). À travers l'entraînement de Cédric pour son triathlon, l'élève est amené à manipuler une représentation graphique d'une fonction définie par morceaux. Cette compétence est cruciale car elle permet de modéliser des situations concrètes où le rythme évolue au fil du temps. Dans cet exercice, la distance $d$ est exprimée comme une fonction du temps $t$, notée $d(t)$. Comprendre qu'une courbe représente une évolution dynamique est le premier pas vers la réussite de l'épreuve.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'exercice se décompose en deux phases : une phase de lecture graphique pure et une phase de calcul de vitesse moyenne.
1. Lecture directe : Image d'une valeur
La première question demande la distance parcourue après 20 minutes. Mathématiquement, on cherche l'image de 20 par la fonction $d$. Pour ce faire, il faut repérer la valeur 20 sur l'axe des abscisses (axe horizontal, durée en min). On remonte verticalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis on projette ce point sur l'axe des ordonnées (axe vertical, distance en km). Le graphique nous indique que pour $t = 20$, on a $d = 10$. Ainsi, Cédric a parcouru 10 km en 20 minutes.
2. Lecture réciproque : Recherche d'antécédent
La deuxième question inverse le processus : on cherche le temps nécessaire pour parcourir 30 km. Ici, on cherche l'antécédent de 30. On part de la valeur 30 sur l'axe des ordonnées. On trace une ligne horizontale jusqu'à l'intersection avec la courbe. En descendant verticalement vers l'axe des abscisses, on tombe sur une valeur située entre 40 et 60. Une lecture précise montre que ce point se situe sur le troisième segment de droite. Sur ce segment, la progression est linéaire. En suivant les graduations orange (tous les 10 min en abscisse et 5 km en ordonnée), on observe que le point $(66 ; 38,5)$ est un point clé. Pour 30 km, une observation minutieuse indique que le temps écoulé est d'environ 50 minutes.
3. Interprétation de la pente : Le relief du circuit
La question 3 demande de reconstituer le trajet (montée, descente, portions plates). C'est ici que l'élève doit faire preuve d'esprit critique. Sur un graphique distance-temps, la pente de la droite représente la vitesse. Plus la pente est forte (raide), plus la vitesse est élevée. À l'inverse, une pente faible indique une vitesse lente.
- Première partie (0 à 20 min) : Pente moyenne.
- Deuxième partie (20 à 28 min) : Pente très forte (accélération/vitesse élevée).
- Troisième partie (28 à 66 min) : Pente moyenne.
- Quatrième partie (66 à 88 min) : Pente très faible (vitesse réduite).
Dans un contexte de vélo : la vitesse est maximale en descente, minimale en montée, et intermédiaire sur le plat. Le trajet est donc : 1. Plat (vitesse normale), 2. Descente (vitesse max), 3. Plat (vitesse normale), 4. Montée (vitesse min). Cette analyse qualitative est essentielle pour valider la compréhension physique du problème.
4. Calcul de vitesse moyenne et conversions
La dernière question exige un calcul rigoureux. On s'intéresse à la première partie du trajet (de $t=0$ à $t=20$).
Données : $d = 10$ km et $t = 20$ min.
La formule de la vitesse est $v = \frac{d}{t}$. Cependant, l'énoncé demande la vitesse en km/h. Il existe deux méthodes :
- Méthode 1 (Coefficient) : Il y a 60 minutes dans une heure. Puisque 20 min est un tiers d'heure ($60 / 3 = 20$), on multiplie la distance par 3. $10 \times 3 = 30$ km/h.
- Méthode 2 (Conversion décimale) : Convertir 20 min en heures : $20 / 60 = 1/3 \approx 0,33$ h. Puis $v = 10 / (1/3) = 10 \times 3 = 30$ km/h.
Cédric roule donc à une vitesse moyenne de 30 km/h sur cette portion.
Les Pièges à Éviter
1. Confusion des axes : Ne confondez pas l'axe des abscisses (temps) et l'axe des ordonnées (distance). C'est l'erreur la plus fréquente sous l'effet du stress.
2. Unités de temps : Ne calculez jamais $10 / 20$ pour trouver des km/h si le temps est en minutes ! Le résultat serait en km/min. Multipliez toujours par 60 pour repasser en heures si nécessaire.
3. Interprétation visuelle : Une ligne qui descend sur un graphique distance-temps signifierait que la distance totale diminue (donc un retour en arrière), ce qui n'est pas le cas ici. Toutes les pentes sont positives car Cédric avance.
Conseils de Rédaction pour l'Examen
Pour les questions de lecture graphique, soyez précis : "Par lecture graphique, on constate que l'ordonnée du point d'abscisse 20 est 10". Même si la justification n'est pas demandée explicitement, utiliser le vocabulaire mathématique (abscisse, ordonnée, antécédent, image) valorise votre copie. Pour le calcul de vitesse, posez toujours la formule $v = d/t$ avant d'injecter les chiffres. Indiquez clairement vos conversions d'unités pour montrer au correcteur votre maîtrise des grandeurs.