Introduction aux programmes de calcul au Brevet

L'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB) accorde une place prépondérante au calcul littéral et à la modélisation. Cet exercice, issu du sujet Amérique du Nord 2024, est un exemple parfait de ce qui est attendu d'un élève de 3ème : savoir passer d'un schéma algorithmique à une expression algébrique, puis manipuler cette expression pour résoudre une équation de type produit nul. Les notions abordées ici incluent la priorité des opérations, la double distributivité et la résolution d'équations du premier degré.

Analyse Méthodique du Programme de Calcul

Le programme de calcul présenté se décompose en deux branches parallèles qui convergent vers une multiplication finale. Il est crucial de bien lire l'ordre des étapes pour ne pas commettre d'erreurs de parenthésage.

Question 1 : Vérification numérique avec $2$

Pour vérifier que le résultat est bien $112$, suivons le cheminement pas à pas :
- Branche de gauche : On part de $2$. On ajoute $2$, ce qui donne $2+2=4$. Ensuite, on multiplie par $4$, d'où $4 \times 4 = 16$.
- Branche de droite : On part de $2$. On multiplie par $5$, ce qui donne $2 \times 5 = 10$. Ensuite, on soustrait $3$, d'où $10 - 3 = 7$.
- Étape finale : On multiplie les deux résultats obtenus : $16 \times 7 = 112$. Le résultat est validé.

Question 2 : Calcul avec un nombre négatif $-3$

L'utilisation de nombres négatifs est un classique pour tester votre rigueur sur les signes :
- Branche gauche : $-3 + 2 = -1$. Puis $-1 \times 4 = -4$.
- Branche droite : $-3 \times 5 = -15$. Puis $-15 - 3 = -18$.
- Produit final : $-4 \times (-18)$. Appliquez la règle des signes : un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un nombre positif. Ainsi, $-4 \times (-18) = 72$.

Question 3 : Modélisation littérale avec $x$

C'est l'étape la plus délicate. Pour le nombre choisi $x$ :
- La branche gauche s'écrit $(x + 2) \times 4$, ce qui équivaut à $4x + 8$.
- La branche droite s'écrit $5x - 3$.
- Le résultat final est donc le produit $(4x + 8)(5x - 3)$.

En observant les propositions :
- L'expression C est correcte car elle correspond au développement partiel de la branche gauche : $(4x + 8)(5x - 3)$.
- L'expression D est également correcte : $(x + 2) \times 4 \times (5x - 3)$ car la multiplication est commutative, on peut déplacer le facteur $4$.

Question 4 : Résolution de l'équation produit nul

On cherche $x$ tel que le résultat soit $0$. L'expression obtenue est $(4x + 8)(5x - 3) = 0$. C'est une équation produit nul. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
1. Soit $4x + 8 = 0 \Rightarrow 4x = -8 \Rightarrow x = -2$.
2. Soit $5x - 3 = 0 \Rightarrow 5x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$ (soit $0,6$).
Les deux nombres de départ possibles sont donc $-2$ et $0,6$.

Question 5 : Développement et réduction

On demande de développer l'expression B : $(4x + 2)(5x - 3)$. Utilisons la double distributivité :
$(4x \times 5x) + (4x \times (-3)) + (2 \times 5x) + (2 \times (-3)) = 20x^2 - 12x + 10x - 6$.
En réduisant les termes en $x$, on obtient : $20x^2 - 2x - 6$.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente dans ce type d'exercice concerne les parenthèses. Dans la branche gauche, si vous écrivez $x + 2 \times 4$ sans parenthèses, la priorité de la multiplication s'applique et vous calculerez $x + 8$ au lieu de $4(x+2)$. De même, lors de la résolution de l'équation $5x - 3 = 0$, faites attention au changement de signe lors du passage du terme constant de l'autre côté de l'égalité.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points :
1. Présentez clairement vos calculs étapes par étapes (une ligne par opération).
2. Citez la propriété de l'équation produit nul : "Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul".
3. Encadrez vos résultats finaux.
4. N'oubliez pas de vérifier vos solutions en les remplaçant dans le programme de calcul original si le temps le permet.