Introduction à la géométrie du Brevet 2024 (Sujet Antilles)

La géométrie occupe une place centrale dans les épreuves du Brevet des Collèges, et le sujet 2024 de la zone Antilles ne fait pas exception. L'exercice 3 que nous analysons ici est une synthèse parfaite des compétences attendues en fin de 3ème. Il ne se contente pas de tester une seule notion, mais demande une agilité intellectuelle pour jongler entre le théorème de Pythagore, sa réciproque, le théorème de Thalès et les notions de trigonométrie. Pour un élève, réussir cet exercice, c'est démontrer une maîtrise globale du programme de géométrie plane.

Analyse Méthodique : Question 1 et 2 - La rigueur de Pythagore

La première question demande de calculer la longueur $DK$. C'est une simple soustraction de segments : $DL = 600$ m et $KL = 120$ m. Comme $K$ appartient au segment $[DL]$, on a $DK = DL - KL = 600 - 120 = 480$ m. Cette étape préliminaire est cruciale car elle fournit la donnée nécessaire pour la suite.

Dans la question 2, on nous demande de prouver que le triangle $DKJ$ est rectangle en $K$. Attention, ici, il ne faut pas affirmer qu'il est rectangle, il faut le démontrer en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore. L'élève doit comparer le carré du plus long côté ($DJ^2$) avec la somme des carrés des deux autres côtés ($DK^2 + KJ^2$).

Calculons séparément : d'une part $DJ^2 = 520^2 = 270\,400$. D'autre part, $DK^2 + KJ^2 = 480^2 + 200^2 = 230\,400 + 40\,000 = 270\,400$. On constate l'égalité $DJ^2 = DK^2 + KJ^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $DKJ$ est rectangle en $K$.

Analyse Méthodique : Question 3 et 4 - Parallélisme et Thalès

La question 3 est une question de logique géométrique fondamentale. On sait que le triangle $DLA$ est rectangle en $L$, donc la droite $(LA)$ est perpendiculaire à $(DL)$. De plus, on vient de prouver que le triangle $DKJ$ est rectangle en $K$, donc la droite $(KJ)$ est perpendiculaire à $(DL)$. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Ainsi, $(KJ) \parallel (LA)$.

Cette démonstration ouvre la porte à l'utilisation du théorème de Thalès dans la question 4. Puisque les points $D, K, L$ sont alignés ainsi que $D, J, A$ et que $(KJ) \parallel (LA)$, on peut écrire l'égalité des rapports : $\frac{DK}{DL} = \frac{DJ}{DA} = \frac{KJ}{LA}$. En remplaçant par les valeurs connues : $\frac{480}{600} = \frac{520}{DA}$. Un produit en croix nous donne $DA = \frac{600 \times 520}{480} = 650$ m.

Analyse Méthodique : Question 5 et 6 - Mesures et Trigonométrie

Le trajet fléché $DKJA$ correspond à $DK + KJ + JA$. Nous savons déjà que $DK = 480$ m et $KJ = 200$ m. Pour trouver $JA$, il suffit de soustraire $DJ$ à $DA$, soit $650 - 520 = 130$ m. La longueur totale est donc $480 + 200 + 130 = 810$ m.

Enfin, la question 6 introduit la trigonométrie. Pour vérifier si l'angle $\widehat{LDA}$ est inférieur à $25^{\circ}$, on travaille dans le triangle $DLA$ rectangle en $L$. Nous connaissons le côté adjacent $DL = 600$ m et l'hypoténuse $DA = 650$ m. On utilise donc le cosinus : $\cos(\widehat{LDA}) = \frac{DL}{DA} = \frac{600}{650}$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\widehat{LDA} = \arccos(\frac{600}{650}) \approx 22,6^{\circ}$. Comme $22,6 < 25$, la caméra pourra effectivement filmer l'ensemble de la course sans bouger.

Les Pièges à éviter

L'erreur la plus fréquente dans ce type d'exercice est d'utiliser le théorème de Pythagore alors que l'on ne sait pas encore que le triangle est rectangle. Pensez bien à utiliser la *réciproque* pour prouver l'angle droit. Un autre piège réside dans le calcul du trajet : certains élèves oublient de calculer $JA$ et additionnent seulement les valeurs données dans l'énoncé. Enfin, vérifiez toujours que votre calculatrice est en mode 'Degré' avant de calculer un angle trigonométrique.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, la rédaction doit suivre une structure logique. Utilisez des connecteurs comme 'On sait que', 'Or', 'D'après le théorème de...', 'Donc'. Citer précisément le nom du théorème utilisé est obligatoire. Par exemple, pour Thalès, précisez bien que les points sont alignés et que les droites sont parallèles. Pour la trigonométrie, indiquez dans quel triangle rectangle vous travaillez.