Introduction aux notions clés du Brevet 2024

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet 2024 (Métropole) est une épreuve transversale qui mobilise trois piliers fondamentaux du programme de troisième : l'arithmétique, le calcul de volumes et la manipulation des fractions. La première partie nous plonge dans un problème de logistique (la création de sachets cadeaux), tandis que la seconde partie se concentre sur des calculs de géométrie dans l'espace et de coûts financiers liés au remplissage d'une piscine. Pour réussir cet exercice, il ne suffit pas de connaître les formules ; il faut savoir interpréter un énoncé concret en langage mathématique.

Analyse Méthodique de la Partie A : Arithmétique et Diviseurs

La première partie repose sur la gestion de stocks d'autocollants (330) et de drapeaux (132). L'objectif est de créer des sachets identiques, ce qui impose mathématiquement que le nombre de sachets soit un diviseur commun aux deux quantités.

1. Pourquoi 15 sachets sont-ils impossibles ?

Pour répondre à cette question, il faut vérifier la divisibilité. Si l'on peut faire 15 sachets, alors 15 doit diviser 330 ET 132. Si pour 330, le calcul est simple (330 / 15 = 22), l'examen du nombre 132 montre que 132 / 15 = 8,8. Ce n'est pas un nombre entier. Dans un problème de répartition d'objets physiques, on ne peut pas avoir de reste ou de drapeaux coupés. Ainsi, 15 n'est pas un diviseur commun.

2. Décomposition en facteurs premiers et PGCD

La décomposition est l'outil ultime pour comprendre la structure d'un nombre. Pour 330 : 330 = 33 x 10 = (3 x 11) x (2 x 5) = 2 x 3 x 5 x 11. Pour 132 : 132 = 2 x 66 = 2 x 6 x 11 = 2 x 2 x 3 x 11 = 2² x 3 x 11. En identifiant les facteurs communs avec leurs plus petits exposants (2, 3 et 11), on trouve le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Le calcul est simple : 2 x 3 x 11 = 66. La présidente peut donc réaliser au maximum 66 sachets.

3. Composition des sachets

Une fois le nombre de sachets trouvé (66), on divise les stocks initiaux par ce nombre : 330 / 66 = 5 autocollants et 132 / 66 = 2 drapeaux par sachet. Cette rigueur dans la division garantit que tout le stock est utilisé sans reste.

Analyse Méthodique de la Partie B : Volumes et Fractions

Ici, on passe de l'arithmétique pure à la géométrie appliquée. La piscine est un pavé droit (ou parallélépipède rectangle). Les dimensions données sont 15 m de longueur, 25 m de largeur et 2 m de profondeur.

Calcul du volume total et partiel

Le volume total V d'un pavé droit se calcule par la formule : L x l x h. Ici, V = 15 x 25 x 2 = 750 m³. Attention, l'énoncé précise que la piscine n'est remplie qu'aux 9/10ème de sa capacité. Le volume d'eau réel est donc de (9/10) x 750 = 675 m³. Cette étape est cruciale : beaucoup d'élèves oublient d'appliquer la fraction avant de calculer le prix.

Le coût financier

Le prix du m³ est de 4,14 €. Le coût total est donc le produit du volume d'eau par le prix unitaire : 675 x 4,14 = 2794,50 €. Ce type de question permet d'évaluer la capacité de l'élève à mener un raisonnement complexe sur plusieurs étapes.

Les Pièges Classiques à Éviter

Dans cet exercice, le premier piège est l'unité. Bien que toutes les dimensions soient en mètres ici, vérifiez toujours la cohérence entre les mètres et les litres si l'on vous demandait une capacité. Le second piège est dans la partie A : ne pas justifier par une phrase claire la non-divisibilité. Dire 'ça ne marche pas' ne suffit pas, il faut montrer le résultat de la division non entière. Enfin, dans la partie B, l'erreur classique est de multiplier les dimensions sans tenir compte de la hauteur d'eau réelle (le remplissage à 90%).

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points :
1. Énoncez clairement les propriétés utilisées (par exemple : 'Le nombre de sachets doit être un diviseur commun').
2. Présentez vos calculs de décomposition de façon propre (en colonnes ou en arbres).
3. Pour le volume, écrivez toujours la formule littérale avant l'application numérique.
4. N'oubliez jamais l'unité dans votre phrase de conclusion (€, m³, etc.). Une réponse sans unité peut être pénalisée.