Introduction aux notions clés du sujet Polynésie 2024

Cet exercice issu de la session 2024 du Brevet des collèges en Polynésie est une synthèse remarquable du programme de géométrie de troisième. Il mobilise cinq compétences majeures : l'utilisation de la trigonométrie dans le triangle rectangle, l'application du théorème de Pythagore pour le calcul de longueurs, la caractérisation des triangles égaux (isométriques), la maîtrise des concepts d'agrandissement-réduction, et enfin le calcul d'aires et de périmètres. Ce type de sujet est particulièrement apprécié des concepteurs car il demande à l'élève de passer d'un outil mathématique à un autre au sein d'une même figure complexe composée de plusieurs triangles emboîtés.

Analyse méthodologique de la Question 1 : Trigonométrie

La première question demande de calculer la longueur $MN$ dans le triangle $ONM$ rectangle en $N$. Pour réussir cette étape, le premier réflexe est d'identifier les données connues par rapport à l'angle donné $\widehat{MON} = 32^\circ$. Nous connaissons le côté adjacent $ON = 6$ cm et nous cherchons le côté opposé $MN$.
Le choix de la formule trigonométrique est crucial. En utilisant le moyen mnémotechnique CAHSOHTOA, on identifie que la tangente (Opposé / Adjacent) est l'outil approprié. L'élève doit rédiger ainsi : "Dans le triangle $ONM$ rectangle en $N$, on a : $\tan(\widehat{MON}) = \frac{MN}{ON}$", d'où $MN = ON \times \tan(32^\circ)$.
Attention à la manipulation de la calculatrice : vérifiez bien que vous êtes en mode "Degrés". Le calcul donne environ $3,749$ cm. Comme la consigne demande une approximation au millimètre près, on arrondit à un chiffre après la virgule, soit $MN \approx 3,7$ cm.

Analyse méthodologique de la Question 2 : Le Théorème de Pythagore

Ici, on s'intéresse au triangle $OPQ$ rectangle en $P$. On nous donne $PQ = 2,5$ cm et l'hypoténuse $OQ = 6,5$ cm. Il faut prouver que $OP = 6$ cm. Il s'agit d'une application directe de la réciproque ou du théorème de Pythagore pour calculer une longueur.
Le raisonnement doit être structuré : "Le triangle $OPQ$ est rectangle en $P$. D'après le théorème de Pythagore, on a : $OP^2 + PQ^2 = OQ^2$".
En remplaçant par les valeurs : $OP^2 + 2,5^2 = 6,5^2$, ce qui donne $OP^2 + 6,25 = 42,25$. On isole $OP^2 = 42,25 - 6,25 = 36$. Puisque $OP$ est une longueur positive, $OP = \sqrt{36} = 6$ cm. Le résultat est exact, ce qui est souvent un bon indicateur de réussite dans les sujets de brevet.

Analyse méthodologique de la Question 3 : Triangles égaux

La question porte sur la comparaison des triangles $ONM$ et $OPQ$. Deux triangles sont dits égaux s'ils sont superposables, c'est-à-dire que leurs côtés sont deux à deux de même longueur.
Nous savons que $ON = 6$ cm et que nous venons de trouver $OP = 6$ cm. Ils ont donc un côté de même longueur. Cependant, pour être égaux, tous les éléments doivent correspondre. Dans le triangle $OPQ$, l'hypoténuse $OQ$ mesure $6,5$ cm. Dans le triangle $ONM$, calculons l'hypoténuse $OM$ : $OM = \frac{ON}{\cos(32^\circ)} = \frac{6}{\cos(32^\circ)} \approx 7,07$ cm. Les hypoténuses n'ayant pas la même mesure ($6,5 \neq 7,07$), les triangles ne peuvent pas être égaux. Une autre méthode consiste à comparer les côtés $MN \approx 3,7$ cm et $PQ = 2,5$ cm : ils sont clairement différents.

Analyse méthodologique de la Question 4 : Réduction et Aires

Cette dernière partie est souvent la plus délicate car elle traite du rapport de réduction $k$. On sait que $OPQ$ est un agrandissement de $ORS$. Par conséquent, $ORS$ est une réduction de $OPQ$.
Trouvons d'abord le rapport de réduction $k$. Il se calcule en faisant le rapport de deux longueurs homologues : $k = \frac{OS}{OQ} = \frac{3,25}{6,5} = 0,5$.
La règle d'or des agrandissements-réductions est la suivante : si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.
Calculons d'abord l'aire de $OPQ$ : $Aire(OPQ) = \frac{Base \times Hauteur}{2} = \frac{OP \times PQ}{2} = \frac{6 \times 2,5}{2} = 7,5$ cm$^2$.
L'aire du triangle $ORS$ est donc $7,5 \times (0,5)^2 = 7,5 \times 0,25 = 1,875$ cm$^2$.

Les Pièges à éviter

1. **L'arrondi prématuré** : Ne faites jamais d'arrondi au milieu d'un calcul. Gardez les valeurs exactes (ou les mémoires de votre calculatrice) jusqu'à la réponse finale.
2. **La confusion des rapports** : Pour le rapport de réduction $k$, on divise toujours la longueur finale par la longueur initiale. Si $k < 1$, c'est une réduction.
3. **Le carré sur l'aire** : C'est l'erreur la plus fréquente au Brevet. Beaucoup d'élèves oublient de mettre le rapport $k$ au carré lorsqu'ils calculent une aire.

Conseils de rédaction pour l'examen

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre présentation. Nommez systématiquement le triangle dans lequel vous travaillez et précisez qu'il est rectangle (condition sine qua non pour Pythagore et la Trigonométrie). Soulignez vos résultats et n'oubliez jamais les unités (cm, cm$^2$). Une rédaction claire et rigoureuse montre au correcteur que vous maîtrisez la logique mathématique au-delà du simple résultat numérique.