Introduction aux notions clés du Brevet 2024

L'exercice 3 du sujet de Mathématiques du Brevet 2024 (Métropole) constitue une évaluation complète des compétences géométriques attendues en fin de troisième. Ce problème lie habilement la géométrie de configuration (théorème de Thalès et propriétés du cercle) à la géométrie de mesure (aires et pourcentages). Les notions imposées telles que Pythagore, Thalès, Aires et périmètres, ainsi que les Pourcentages sont au cœur de cette épreuve. Comprendre cet exercice, c'est s'assurer une maîtrise solide pour l'examen final.

Analyse détaillée de la figure et préparation

Avant de se lancer dans les calculs, l'examen de l'énoncé est primordial. Nous avons un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $4,5$~cm. Le segment $[AB]$ est un diamètre, ce qui implique immédiatement que $O$ est le milieu de $[AB]$ et que $AB$ est deux fois plus long que le rayon. La présence de droites parallèles $(BD)$ et $(EF)$ est un signal fort pour l'utilisation prochaine du théorème de Thalès. Enfin, les longueurs $BD = 5,4$ cm, $DA = 7,2$ cm et $AE = 2,7$ cm serviront de base à tous nos calculs de rapports et de surfaces.

Question 1 : Justification du diamètre

La première question est une mise en jambe qui teste la définition fondamentale du cercle. Le rayon est donné à $4,5$~cm. Par définition, le diamètre d'un cercle est le double de son rayon. En rédaction, on attend : $AB = 2 \times Rayon = 2 \times 4,5 = 9$~cm. Cette valeur de $9$~cm sera cruciale pour les rapports de proportionnalité dans la suite de l'exercice.

Question 2 : Propriété du triangle inscrit

Démontrer que le triangle $ABD$ est rectangle en $D$ fait appel à une propriété classique de géométrie plane : « Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce diamètre ». Ici, le point $D$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ et $[AB]$ est un diamètre de ce cercle. Par conséquent, $ABD$ est rectangle en $D$.
Note pédagogique : Bien que l'on puisse utiliser la réciproque du théorème de Pythagore (car $9^2 = 81$ et $5,4^2 + 7,2^2 = 29,16 + 51,84 = 81$), la propriété du triangle inscrit est plus rapide et plus élégante dans ce contexte.

Question 3 : Calcul de la longueur AF via Thalès

Nous sommes dans une configuration de Thalès dite « en papillon » ou classique (ici classique car les triangles $AEF$ et $ABD$ sont emboîtés). Les conditions d'application sont réunies : les points $A, E, B$ d'une part et $A, F, D$ d'autre part sont alignés. Les droites $(EF)$ et $(BD)$ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports : $\frac{AE}{AB} = rac{AF}{AD} = rac{EF}{BD}$.
En utilisant la partie $\frac{AE}{AB} = rac{AF}{AD}$, on remplace par les valeurs : $\frac{2,7}{9} = rac{AF}{7,2}$.
On utilise le produit en croix : $AF = \frac{2,7 \times 7,2}{9} = 2,16$~cm.

Question 4 : Calculs d'aires (Triangle et Disque)

a) Aire du triangle ABD : Puisque nous avons prouvé que le triangle est rectangle en $D$, son aire est donnée par la formule $\frac{base \times hauteur}{2}$ en utilisant les côtés de l'angle droit. Soit $\text{Aire} = \frac{DA \times DB}{2} = \frac{7,2 \times 5,4}{2} = 19,44~\text{cm}^2$. La valeur est exacte, comme l'indique l'énoncé.
b) Aire du disque : Le rappel de la formule est $\pi \times R^2$. Avec $R = 4,5$~cm, on obtient $\text{Aire}_{disque} = \pi \times 4,5^2 = 20,25\pi$. En prenant une valeur approchée de $\pi$, la calculatrice donne environ $63,6172...$. L'arrondi au centième (deux chiffres après la virgule) est donc $63,62~\text{cm}^2$.

Question 5 : Interprétation par les pourcentages

Pour trouver quel pourcentage de l'aire du disque représente l'aire du triangle, on effectue le rapport $\frac{\text{Aire Triangle}}{\text{Aire Disque}} \times 100$.
Calcul : $\frac{19,44}{63,62} \times 100 \approx 30,56\%$. Le triangle $ABD$ occupe donc un peu moins d'un tiers de la surface totale du disque.

Les pièges à éviter lors de l'examen

1. Confusion Rayon/Diamètre : C'est l'erreur la plus fréquente. Lisez bien si la valeur donnée est $R$ ou $D$.
2. Unités : Toujours préciser les $cm$ pour les longueurs et $cm^2$ pour les surfaces. Une aire sans unité peut coûter des points.
3. Rédaction de Thalès : N'oubliez jamais de citer le parallélisme des droites. Sans cette mention, le théorème ne s'applique pas théoriquement.
4. L'arrondi : Respectez strictement la consigne (ici au centième). Un arrondi au dixième serait compté faux.

Conseils de rédaction pour maximiser les points

Pour chaque question, suivez la structure : Je sais que (données de l'énoncé), Or (propriété ou théorème), Donc (conclusion et calcul). Cette rigueur mathématique est ce que les correcteurs du Brevet apprécient le plus. Par exemple, pour la question 2, citer le diamètre est indispensable pour valider la nature du triangle rectangle.