Introduction aux notions de géométrie plane du Brevet 2024

L'exercice 3 du sujet Brevet 2024 (Zone Asie) est un véritable condensé du programme de géométrie de troisième. Il sollicite des compétences variées allant du théorème de Pythagore à la trigonométrie, tout en abordant les notions d'aires et de secteurs circulaires. Cet exercice est particulièrement intéressant car il demande une vision synthétique de la figure : il faut savoir passer d'un triangle rectangle à une portion de disque. Les tags associés à cette étude sont : Pythagore, Aires et périmètres, Trigonométrie, Géométrie plane.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé présente une pièce géométrique complexe composée d'un triangle $BAG$ et d'un arc de cercle de centre $G$. La première étape consiste à bien décoder les propriétés de la figure à partir des données textuelles et des codages.

1. Maîtriser le Théorème de Pythagore

La première question demande de démontrer que $BC \approx 17,3$ cm. Pour cela, il faut identifier le triangle rectangle $BGC$. On sait que $(AB) \perp (CG)$, donc le triangle $BGC$ est rectangle en $C$. Nous connaissons l'hypoténuse $BG = 20$ cm et le côté $CG = 10$ cm. D'après l'égalité de Pythagore : $BG^2 = BC^2 + CG^2$, soit $20^2 = BC^2 + 10^2$. En isolant $BC^2$, on obtient $BC^2 = 400 - 100 = 300$. La longueur $BC$ est donc $\sqrt{300}$. À la calculatrice, $\sqrt{300} \approx 17,32$, ce qui valide la valeur attendue.

2. Calcul d'Aire et Manipulation des Longueurs

Pour l'aire du triangle $BAG$, il est crucial de noter que $C$ est le milieu de $[AB]$ car $AC=CB$. Ainsi, la base $AB$ mesure $2 \times BC \approx 34,6$ cm. L'aire d'un triangle se calcule par la formule : $\text{Aire} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Ici, la hauteur issue de $G$ est $[CG]$. L'aire est donc $\frac{AB \times CG}{2} = \frac{2 \times BC \times CG}{2} = BC \times CG$. Avec les valeurs exactes, cela donne $\sqrt{300} \times 10 \approx 173,2$. La valeur arrondie à l'unité est $173$ cm².

3. Trigonométrie : L'outil de mesure d'angle

Dans la question 3a, on cherche l'angle $\widehat{CGB}$. Dans le triangle $BGC$ rectangle en $C$, nous connaissons le côté adjacent $CG = 10$ et l'hypoténuse $BG = 20$. Le rapport trigonométrique approprié est le cosinus : $\cos(\widehat{CGB}) = \frac{CG}{BG} = \frac{10}{20} = 0,5$. En utilisant la touche $\arccos$ ou $\cos^{-1}$ de la calculatrice, on trouve $\widehat{CGB} = 60^\circ$. Par symétrie (ou en répétant le calcul dans $AGC$), l'angle $\widehat{AGB}$ est le double de $\widehat{CGB}$, soit $120^\circ$.

4. Logique et Géométrie : Formation d'un disque

Pourquoi les élèves peuvent-ils former un disque avec 3 pièces ? Un disque complet représente un angle au centre de $360^\circ$. Chaque pièce possède un angle au sommet $G$ de $120^\circ$. Puisque $3 \times 120^\circ = 360^\circ$, la juxtaposition des trois sommets $G$ comble exactement le tour complet sans vide ni chevauchement.

5. Aire de la pièce totale : Le Secteur Circulaire

La pièce est une portion de disque de rayon $R = 20$ cm. Puisque 3 pièces forment un disque complet, l'aire d'une pièce est exactement un tiers de l'aire du disque de rayon $20$ cm. $\text{Aire}_{disque} = \pi \times r^2 = \pi \times 20^2 = 400\pi$. L'aire d'une pièce est donc $\frac{400\pi}{3} \approx 418,87$. Arrondi à l'unité, on obtient $419$ cm².

Les Pièges à Éviter

Attention à la confusion entre les rapports trigonométriques : rappelez-vous du mémo technique SOH CAH TOA. Ici, pour l'angle $\widehat{CGB}$, utiliser le sinus aurait nécessité d'utiliser la valeur arrondie de $BC$, ce qui est moins précis que d'utiliser $CG$ et $BG$ qui sont des valeurs entières. Un autre piège fréquent est d'oublier de doubler l'angle $60^\circ$ pour obtenir l'angle total de la pièce.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points : 1. Citez explicitement le nom du triangle et le fait qu'il est rectangle avant d'utiliser Pythagore ou la trigonométrie. 2. Énoncez clairement la formule utilisée. 3. Présentez la valeur exacte avant de donner l'arrondi demandé. 4. N'oubliez jamais les unités ($cm$ pour les longueurs, $cm^2$ pour les surfaces).