Introduction aux Transformations et à l'Algorithmique au Brevet

Cet exercice issu du sujet de Mathématiques du Brevet 2024 (Polynésie) est un modèle de synthèse entre la géométrie plane classique et la programmation sous Scratch. Il mobilise deux compétences majeures du programme de 3ème : la compréhension des transformations géométriques (translations, rotations, symétries, homothéties) et la maîtrise des structures itératives en algorithmique. L'utilisation du pentagone régulier permet d'évaluer la capacité de l'élève à faire le lien entre les propriétés d'une figure (angles intérieurs) et les instructions de rotation d'un lutin.

Analyse de la Question 1 : Géométrie et Angles

La première question demande de justifier que l'angle $\widehat{\text{FE}y}$ mesure $72$ degrés. Pour réussir, il faut utiliser la propriété de l'angle plat. Le point E appartenant à la demi-droite [D$y$), les points D, E et $y$ sont alignés. Ainsi, l'angle $\widehat{\text{DE}y}$ est un angle plat mesurant $180^{\circ}$. Comme le pentagone est régulier, l'énoncé nous indique que l'angle intérieur $\widehat{\text{DEF}}$ mesure $108^{\circ}$. La mesure de l'angle cherché est donc la différence : $180 - 108 = 72^{\circ}$. C'est un point de passage classique : l'angle de rotation dans Scratch correspond à l'angle extérieur de la figure, et non à l'angle intérieur.

Analyse de la Question 2.a : Le Bloc Pentagone sous Scratch

Pour construire un pentagone régulier, le lutin doit tracer 5 côtés égaux. La boucle « répéter 5 fois » est donc indispensable. Concernant l'angle de rotation, comme établi précédemment, pour que la figure se ferme après un tour complet ($360^{\circ}$), chaque rotation doit être de $360 / 5 = 72^{\circ}$. On complète donc le bloc par : répéter 5 fois et tourner de 72 degrés. C'est une erreur fréquente de vouloir mettre 108 degrés, ce qui produirait une étoile ou une figure ouverte.

Analyse de la Question 2.b : Identification des Transformations

Ici, il s'agit d'associer le code informatique au rendu visuel.

• Camille : Son code utilise l'instruction « avancer de 120 pas » entre deux appels du bloc pentagone. C'est une translation. Le pentagone glisse vers la droite sans tourner. Cela correspond à la Copie d'écran 3.
• Lou : Son code comporte une instruction « tourner de 60 degrés ». C'est une rotation. La figure subit un pivotement. Cela correspond à la Copie d'écran 1.
• Zoé : Son code indique une rotation de 180 degrés. Faire demi-tour revient à effectuer une symétrie centrale. Cela correspond à la Copie d'écran 2, où le deuxième pentagone est 'tête en bas'.

Analyse de la Question 2.c : L'Homothétie et l'Ordre des Instructions

L'homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un centre et d'un rapport. Dans le programme de Sofia, l'instruction clé est « mettre longueur à longueur * 1.5 ». L'ordre logique respecte la structure habituelle d'un script Scratch :

1. Quand le drapeau est cliqué (déjà placé).
2. Effacer tout (Initialisation du dessin).
3. Aller à x:0 y:0 (Positionnement).
4. S'orienter à 90 (Direction initiale).
5. Mettre longueur à 60 (Taille initiale).
6. Pentagone (Tracé de la première figure).
7. Mettre longueur à longueur * 1.5 (Modification de la variable pour l'agrandissement).
8. Pentagone (Tracé de la figure agrandie).

Les Pièges à Éviter

L'erreur principale réside souvent dans la confusion entre l'angle interne d'un polygone et l'angle de rotation Scratch. Rappelez-vous toujours que le lutin « tourne » par rapport à sa direction actuelle. Un autre piège est l'ordre des instructions dans la question 2.c : si on modifie la longueur avant de tracer le premier pentagone, les deux figures seront identiques ou le rapport d'homothétie ne sera pas respecté par rapport à l'état initial souhaité.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour la question 1, citez explicitement les points alignés pour justifier l'angle plat. Pour les tableaux de correspondance, ne vous contentez pas de remplir les cases : vérifiez la cohérence globale. Si vous avez utilisé deux fois le même numéro de copie d'écran, c'est qu'il y a une erreur d'analyse sur les blocs de mouvement ou de rotation. La clarté dans la lecture des blocs Scratch est la clé pour assurer tous les points sur ce type d'exercice qui revient quasi systématiquement chaque année.