Introduction aux notions du Brevet 2024

L'exercice 1 du sujet d'Amérique du Nord 2024 est un classique incontournable de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Ce format « Vrai ou Faux » avec justification est particulièrement redoutable car il ne demande pas seulement de trouver le résultat, mais de prouver la validité d'une affirmation. Cet exercice balaie un large spectre du programme de 3ème : les statistiques (moyenne et médiane), les grandeurs composées (vitesse), les probabilités (nombres premiers) et les transformations géométriques (homothétie et son impact sur les aires). Maîtriser ce type d'exercice, c'est s'assurer une base solide de points dès le début de l'épreuve.

Analyse détaillée de l'Affirmation A et B : Statistiques

La première partie de l'exercice porte sur une série statistique simple : \[12 ; 15 ; 10 ; 7 ; 13\]. L'affirmation A suggère une moyenne de 11,40 euros. Pour vérifier cela, nous devons appliquer la formule de la moyenne arithmétique : somme des valeurs divisée par l'effectif total. Ici, \[(12 + 15 + 10 + 7 + 13) / 5 = 57 / 5 = 11,4\]. L'affirmation A est donc vraie. C'est un calcul de base, mais attention aux erreurs d'étourderie lors de l'addition.
L'affirmation B concerne la médiane. Le piège classique est de prendre la valeur centrale de la liste non triée. Pour trouver la médiane, il est impératif de ranger les données par ordre croissant : \[7 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15\]. L'effectif total étant de 5 (un nombre impair), la médiane est la 3ème valeur, soit 12. L'affirmation B, qui annonçait 10 euros, est donc fausse. La médiane partage la série en deux groupes de même effectif ; ici, il y a deux valeurs inférieures à 12 et deux valeurs supérieures à 12.

Analyse de l'Affirmation C : Vitesse et Conversion

L'affirmation C teste votre capacité à manipuler les vitesses et les unités. On nous donne une distance de 20 mètres parcourue en 6 secondes. La formule de la vitesse est \[v = d / t\]. On obtient d'abord une vitesse en m/s : \[20 / 6 \approx 3,33\text{ m/s}\]. Pour convertir cette vitesse en km/h, il existe une méthode rapide : multiplier par 3,6. En effet, \[1\text{ m/s} = 3,6\text{ km/h}\] (car 1000m = 1km et 3600s = 1h). Ainsi, \[ (20 / 6) \times 3,6 = 12\text{ km/h}\]. L'affirmation C prédisait 14 km/h, elle est donc fausse. Une autre méthode consiste à utiliser un tableau de proportionnalité : si elle parcourt 20m en 6s, combien parcourt-elle en 3600s ? \[ (20 \times 3600) / 6 = 12000\text{ mètres}\], soit 12 km. Le résultat est identique et confirme l'erreur de l'affirmation.

Analyse de l'Affirmation D : Probabilités et Nombres Premiers

Cette question combine deux chapitres : les probabilités et l'arithmétique. L'urne contient des boules de 1 à 15. L'univers comporte donc 15 issues équiprobables. L'affirmation porte sur la probabilité de tirer un nombre premier. Rappelons qu'un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Listons les nombres premiers entre 1 et 15 : 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Attention ! 1 n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur) et 9 n'est pas premier (il est divisible par 3). Nous avons donc 6 nombres premiers. La probabilité est donc de \[6 / 15\]. En simplifiant par 3, on obtient \[2 / 5\]. L'affirmation proposait \[7 / 15\], elle est donc fausse. L'erreur commune ici est souvent d'inclure le chiffre 1 ou d'oublier de vérifier la divisibilité de 9 ou 15.

Analyse de l'Affirmation E : Homothétie et Aires

La géométrie nous amène à l'homothétie. Le triangle A'B'C' est l'image de ABC par une homothétie de rapport \(k = -3\). L'affirmation E prétend que l'aire est multipliée par 3. C'est un piège extrêmement fréquent au Brevet. Il faut absolument retenir la règle des agrandissements-réductions : si les longueurs sont multipliées par un rapport \(k\), alors les aires sont multipliées par \(k^2\) (et les volumes par \(k^3\)). Ici, le rapport est \(-3\). Le signe moins indique une rotation de 180 degrés (l'image est « de l'autre côté » du centre O et retournée), mais pour le calcul de l'aire, on utilise la valeur absolue du rapport. L'aire est donc multipliée par \((-3)^2 = 9\). L'aire du triangle A'B'C' est 9 fois plus grande que celle de ABC, et non 3 fois. L'affirmation E est fausse.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

Pour réussir cet exercice, la rigueur est votre meilleure alliée. 1. **Ne confondez pas moyenne et médiane** : rangez toujours vos listes ! 2. **Unités de vitesse** : mémorisez le coefficient 3,6 pour gagner du temps, mais sachez le retrouver. 3. **Nombres premiers** : apprenez la liste jusqu'à 30 par cœur. 4. **Propriétés de l'homothétie** : retenez que l'aire évolue au carré du rapport. Concernant la rédaction, le jury attend une structure claire : commencez par citer la formule ou la propriété utilisée, effectuez le calcul proprement, puis concluez explicitement par « L'affirmation est donc Vraie » ou « L'affirmation est donc Fausse ». Une réponse sans justification, même correcte, ne rapporte aucun point dans ce type d'exercice.