Introduction aux notions du sujet

Cet exercice du Brevet de Mathématiques 2024 (Série Générale - Métropole) est une excellente synthèse de trois domaines fondamentaux du programme de troisième : les statistiques, le calcul de pourcentages et la trigonométrie. À travers une thématique concrète et actuelle — l'installation de panneaux solaires sur un hangar — l'élève doit démontrer sa capacité à interpréter des données réelles, à effectuer une gestion financière simple et à modéliser une situation géométrique pour optimiser un rendement énergétique. Ces compétences sont essentielles non seulement pour l'obtention du diplôme national du brevet, mais aussi pour la compréhension des enjeux technologiques et environnementaux contemporains.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice est structuré en trois parties indépendantes qui mobilisent des raisonnements distincts.

1. Analyse des Statistiques de Production

La première question repose sur l'exploitation d'un tableau de données journalières de production électrique en kWh. L'élève doit faire preuve de rigueur dans l'observation et le calcul élémentaire.

• Lecture de données : Pour identifier le jour de production maximale, il suffit de comparer les valeurs du tableau : $381, 363, 322, 329, 393, 405, 376$. Le maximum est $405$, correspondant au samedi.
• Calcul de l'étendue : L'étendue est un indicateur de dispersion. Elle se calcule en faisant la différence entre la valeur la plus haute et la valeur la plus basse du caractère étudié. Ici : $405 - 322 = 83$ kWh. Cela signifie qu'il y a un écart significatif de 83 kWh entre la meilleure et la moins bonne journée de la semaine.
• Calcul de la moyenne : La moyenne arithmétique est la somme des productions divisée par le nombre de jours ($7$). Le calcul est : $\frac{381+363+322+329+393+405+376}{7} = \frac{2569}{7} \approx 367$ kWh par jour.

2. Rentabilité et Pourcentages

La deuxième question introduit une dimension économique. L'entreprise revend sa production à hauteur de $0,15$ € par kWh. Le piège classique serait d'utiliser la moyenne pour le calcul total, mais l'énoncé demande le gain total sur les $7$ jours. On utilise donc la somme totale calculée précédemment ($2569$ kWh). Le calcul est simple mais nécessite de ne pas se tromper dans l'unité monétaire : $2569 \times 0,15 = 385,35$ €. L'entreprise a donc perçu $385,35$ € en une semaine.

3. Trigonométrie et Optimisation de la Pente

C'est la partie la plus technique de l'exercice. Il s'agit de déterminer si l'angle de pente du toit $\widehat{OLV}$ est compris dans l'intervalle $[30^\circ ; 35^\circ]$. Pour cela, on observe le schéma en coupe qui révèle un triangle $OVL$ rectangle en $V$. Les données fournies sont : le côté opposé à l'angle ($OV = 7$ m) et l'hypoténuse ($OL = 13,5$ m).

Dans un triangle rectangle, le rapport liant le côté opposé et l'hypoténuse est le sinus. On pose alors : $\sin(\widehat{OLV}) = \frac{OV}{OL} = \frac{7}{13,5}$. En utilisant la touche $\arcsin$ ou $\text{sin}^{-1}$ de la calculatrice, on obtient $\widehat{OLV} \approx 31,2^\circ$. Puisque $30 < 31,2 < 35$, on conclut que la production est bien maximale car la pente respecte les préconisations techniques.

Les Pièges à Éviter

De nombreux élèves perdent des points sur des détails évitables :

• Confusion sur les rapports trigonométriques : Ne confonds pas $\cos$ (adjacent/hypoténuse) et $\sin$ (opposé/hypoténuse). Ici, la longueur $LV$ (côté adjacent) n'est pas connue, donc le cosinus n'est pas utilisable directement sans Pythagore préalable.
• Le mode de la calculatrice : Assure-toi que ta calculatrice est bien en mode Degrés et non en Radians ou Gradians, sinon ton résultat trigonométrique sera totalement erroné.
• Oubli des unités : Toujours préciser l'unité (kWh, €, degrés) dans la phrase de conclusion.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points (la note 'Expert'), structure ta réponse ainsi :

1. Citer le triangle et sa nature : "Dans le triangle $OVL$ rectangle en $V$...".
2. Nommer la formule utilisée : "On utilise le sinus de l'angle $\widehat{OLV}$...".
3. Présenter le calcul littéral avant le numérique : Écris la formule avec les lettres avant de remplacer par les nombres.
4. Comparer avec les données de l'énoncé : Pour la question 3, ne donne pas juste l'angle, termine par "31,2 est compris entre 30 et 35, donc...".