Introduction aux fondamentaux du Brevet 2024

Cet exercice issu du sujet de Polynésie 2024 est une synthèse parfaite des compétences exigées au cycle 4. Présenté sous forme de Questionnaire à Choix Multiples (QCM), il balaie des domaines variés : la géométrie plane avec le théorème de Pythagore, l'analyse de fonctions affines, les transformations géométriques (homothétie), la gestion de données avec les ratios, et enfin l'arithmétique avec la recherche du PGCD. Bien qu'aucune justification ne soit demandée dans le barème officiel de cet exercice, la maîtrise des démonstrations sous-jacentes est indispensable pour éviter les pièges classiques.

Analyse Question 1 : Triangle et Réciproque de Pythagore

La première question nous demande de déterminer la nature d'un triangle ABC dont les côtés mesurent $AB = 20$ cm, $BC = 21$ cm et $AC = 29$ cm. En tant que professeur, je conseille toujours d'identifier d'abord le côté le plus long : ici $[AC]$. Calculons les carrés : $AC^2 = 29^2 = 841$. D'autre part, la somme des carrés des deux autres côtés est $AB^2 + BC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$. Nous constatons que $AC^2 = AB^2 + BC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. Puisque $[AC]$ est l'hypoténuse, l'angle droit se situe au sommet B. La réponse exacte est donc : ABC est un triangle rectangle en B.

Analyse Question 2 : Lecture graphique de fonction

L'étude de la représentation graphique d'une fonction $f$ est un pilier du programme de 3ème. La courbe est une droite ne passant pas par l'origine, c'est donc une fonction affine de type $f(x) = ax + b$. L'ordonnée à l'origine (la valeur où la droite coupe l'axe des ordonnées) est $1$, donc $b = 1$. Pour déterminer le coefficient directeur $a$ (la pente), on observe le décalage : pour une unité vers la droite, on monte de $0,5$ unité. Ainsi $a = 0,5$ ou $\frac{1}{2}$. L'expression de la fonction est $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Cette question teste votre capacité à lier image graphique et expression algébrique.

Analyse Question 3 : Transformations et Homothétie

Le passage du carré n°1 au carré n°2 s'effectue via une transformation géométrique. On observe que le carré n°2 est plus grand que le carré n°1. Les côtés du carré 1 mesurent 1 unité, ceux du carré 2 en mesurent 2. Le rapport de taille est donc de 2. Puisque les figures sont de part et d'autre du centre O et que l'orientation est inversée (image de l'autre côté du centre), il s'agit d'une homothétie de centre O et de rapport négatif. Le rapport est $-2$ car les longueurs sont doublées et la figure subit une sorte de retournement par rapport au centre. L'homothétie de rapport $-2$ combine un agrandissement et une symétrie centrale.

Analyse Question 4 : Maîtriser les Ratios

La gestion des ratios est cruciale. Le cocktail respecte le ratio $10:6:2$ pour (Ananas : Passion : Citron). Cela signifie qu'il y a $10 + 6 + 2 = 18$ parts au total. Le volume total est de $90$ cL. On calcule la valeur d'une part : $90 \div 18 = 5$ cL. Le jus de fruit de la passion correspond à $6$ parts. On calcule donc $6 \times 5 = 30$ cL. Savoir décomposer un total en parts proportionnelles est une compétence de base en numératie.

Analyse Question 5 : Arithmétique et PGCD

Le maraîcher souhaite répartir $408$ pommes et $168$ poires équitablement. Le nombre de sacs doit diviser à la fois $408$ et $168$. Pour obtenir le plus grand nombre de sacs, on cherche le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Utilisons l'algorithme d'Euclide : $408 = 2 \times 168 + 72$, puis $168 = 2 \times 72 + 24$, et enfin $72 = 3 \times 24 + 0$. Le dernier reste non nul est $24$. Le maraîcher peut donc remplir $24$ sacs. Chaque sac contiendra $408 \div 24 = 17$ pommes et $168 \div 24 = 7$ poires.

Pièges à éviter et Conseils de rédaction

Même dans un QCM, la rigueur est de mise. Pour la géométrie, ne confondez pas le sommet de l'angle droit avec l'hypoténuse. Pour l'homothétie, n'oubliez pas que si le rapport est négatif, la figure est inversée par rapport au centre. Pour les ratios, vérifiez toujours que la somme des parts correspond au total donné. Enfin, bien qu'aucune justification ne soit demandée 'sur la copie', effectuez toujours vos calculs au brouillon de manière structurée pour éviter les erreurs d'inattention qui coûtent cher dans un QCM où c'est tout ou rien.