Présentation du sujet

Le sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges (DNB) d'Amérique du Sud, session de novembre 2013 (sujet de secours), est un examen équilibré couvrant l'ensemble du programme de Troisième. Il se distingue par une forte présence de la géométrie appliquée, notamment dans le contexte d'une ascension en funiculaire, et par un exercice d'optimisation nécessitant l'usage du tableur. Ce sujet met l'accent sur la capacité des élèves à mobiliser le calcul numérique et littéral, ainsi que les outils géométriques fondamentaux.

Analyse par exercice

• Exercice 1 : QCM – Les Bases du Calcul (5 points)

  Ce questionnaire à choix multiples teste rapidement cinq compétences essentielles : la priorité des opérations avec les Fractions, l'évaluation d'expressions impliquant des racines carrées, la manipulation des Puissances et de l'écriture scientifique, la compréhension élémentaire des Fonctions (image et antécédent), et la détermination de la Statistique de la médiane.

• Exercice 2 : Programmes de Calcul (6 points)

  Cet exercice est un classique qui permet de vérifier la maîtrise du Calcul littéral. Les élèves doivent d'abord appliquer les programmes A et B à des nombres spécifiques. La difficulté réside ensuite dans la résolution d'une petite Équation pour le Programme B. Enfin, la comparaison des deux programmes (par développement algébrique : $x^2 + 1$ pour les deux) valide la compétence à manipuler les expressions équivalentes.

• Exercice 3 : Le Funiculaire et le Pic Pointu (8 points)

  Véritable épreuve de géométrie et de grandeurs, cet exercice en montagne nécessite plusieurs étapes cruciales. Après le calcul des dénivelés, l'élève doit utiliser le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle pour déterminer la distance du trajet SI. L'angle de pente est ensuite trouvé grâce à la Trigonométrie (sinus). La partie la plus subtile concerne le trajet à pied (SJ), qui requiert l'application du théorème de Thalès (triangles ISL et IKJ) pour déduire la longueur SJ. Enfin, la conversion des unités pour calculer la Durée du trajet est indispensable.

• Exercice 4 : Les Gélules de Paracétamol (5 points)

  Cet exercice mélange Arithmétique et Géométrie dans l'espace. La première partie porte sur la conversion d'unités de masse et le dénombrement des gélules et des boîtes. La seconde partie exige le calcul précis du Volume d'une gélule, forme composée d'un cylindre et d'une sphère complète. C'est un test direct de l'application des formules de volume.

• Exercice 5 : L'Enclos de l'Éleveur (8 points)

  Typique des problèmes d'optimisation au Brevet, cet exercice porte sur la relation entre les Aires et périmètres et le Calcul littéral. L'élève doit d'abord exprimer la largeur $y$ en fonction de la longueur $x$ à partir du périmètre donné (40 m de grillage), puis en déduire l'expression de l'aire $A = 20x - 0,5x^2$. La familiarité avec le Tableur est requise pour proposer la formule de calcul. L'analyse finale se fait par Lecture graphique pour déterminer la valeur maximale de l'aire et les dimensions optimales de l'enclos.

• Exercice 6 : Problème du Cinéma (4 points)

  Ce problème est une application directe de la résolution d'un système de deux Équations à deux inconnues (prix adulte et prix enfant). L'élève est incité à faire preuve de Prise d'initiatives et à formaliser sa démarche pour vérifier la justesse du prix réclamé.

Conclusion

Le sujet d'Amérique du Sud 2013 est riche et sollicite une variété de compétences fondamentales. La réussite nécessite non seulement une bonne maîtrise du Calcul littéral et de la résolution d'Équations, mais surtout une capacité à appliquer les théorèmes de Thalès et de Pythagore dans des contextes réels complexes (le funiculaire). La présence d'un exercice d'optimisation basé sur une fonction du second degré, traité à l'aide du Tableur et de la lecture graphique, rappelle l'importance des outils numériques dans l'évaluation du DNB. Ce sujet est un excellent entraînement pour tout candidat visant la mention.