Analyse de l'énoncé et enjeux

Cet exercice sous forme de Questionnaire à Choix Multiple (QCM) est un excellent indicateur du niveau de maîtrise des automatismes fondamentaux requis en Première Spécialité. Bien qu'initialement issu d'un sujet de 2015, les notions abordées — notation scientifique, calcul fractionnaire, taux d'évolution et agrandissement géométrique — sont les piliers sur lesquels reposent des chapitres plus complexes comme les suites numériques ou la dérivation. L'objectif ici n'est pas seulement de trouver la bonne réponse, mais de le faire avec rapidité et précision, sans calculatrice si possible, pour gagner en aisance lors des épreuves de contrôle continu.

Points de vigilance et rappels de cours

• Les puissances de dix : La manipulation des exposants obéit à des règles strictes. Rappelez-vous que $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$ et que $10^a / 10^b = 10^{a-b}$. En écriture scientifique, le nombre doit impérativement être de la forme $a \times 10^n$, où $1 \leq a < 10$.
• L'inverse d'une somme : Une erreur classique dans la question 2 consiste à croire que l'inverse d'une somme est la somme des inverses. C'est faux. Il faut d'abord calculer la valeur numérique de la somme des fractions en les mettant au même dénominateur avant de prendre l'inverse du résultat final.
• Agrandissement et aires : C'est le point le plus technique. Si les dimensions d'une figure sont multipliées par un coefficient $k$, alors son aire est multipliée par $k^2$ et son volume par $k^3$. Beaucoup d'élèves oublient d'élever le rapport au carré.

Correction détaillée pas à pas

Question 1 : Calcul de l'écriture scientifique.
On sépare les nombres décimaux des puissances de dix : $A = \frac{5 \times 1,2}{2,4} \times \frac{10^6 \times 10^{-8}}{10^5}$.
On remarque que $1,2 / 2,4 = 0,5$. Ainsi, $A = (5 \times 0,5) \times 10^{6-8-5} = 2,5 \times 10^{-7}$. La réponse exacte est donc la deuxième proposition.

Question 2 : Recherche de la valeur de R.
On remplace $x$ et $y$ par leurs valeurs : $\frac{1}{R} = \frac{1}{20} + \frac{1}{5}$.
On réduit au même dénominateur : $\frac{1}{R} = \frac{1}{20} + \frac{4}{20} = \frac{5}{20}$.
En simplifiant la fraction, on obtient $\frac{1}{R} = \frac{1}{4}$, d'où $R = 4$.

Question 3 : Calcul du pourcentage de réduction.
Le montant de la remise est de $120 - 90 = 30$ euros. Pour trouver le pourcentage, on effectue le rapport entre la remise et le prix de départ : $\frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 0,25$, soit $25\%$.

Question 4 : Aire après agrandissement.
L'aire initiale du rectangle est $A = L \times l = 8 \times 5 = 40 \text{ cm}^2$.
Comme le coefficient d'agrandissement est $k = 2$, l'aire finale est $A' = A \times k^2 = 40 \times 2^2 = 40 \times 4 = 160 \text{ cm}^2$.