Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2015, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiple (QCM). Bien qu'initialement posé au niveau brevet, il constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Il balaie des notions fondamentales qui sont les prérequis indispensables pour aborder le chapitre sur le second degré et les suites numériques.

Analyse détaillée par question

• Question 1 : L'équation produit nul. Il s'agit de résoudre $(x - 3)(3x + 2) = 0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On obtient $x - 3 = 0$ ou $3x + 2 = 0$. En Première, cette compétence est la base de la recherche des racines d'un trinôme déjà factorisé.
• Question 2 : Évolution en pourcentage. Une augmentation de 15% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur $1 + 0,15 = 1,15$. Ce calcul est le socle de l'étude des suites géométriques.
• Question 3 : Lecture graphique et fonction de référence. On observe une parabole, représentation typique d'une fonction du second degré. La question porte sur l'image d'un nombre (ordonnée du point de la courbe).
• Question 4 : Arithmétique. Le calcul du PGCD, bien que moins présent dans le tronc commun de spécialité, reste utile pour la simplification de fractions et l'algorithmique.
• Question 5 : Calcul avec radicaux. La simplification de $\sqrt{45}$ en $3\sqrt{5}$ est cruciale pour exprimer les racines de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ sous forme exacte.

Correction détaillée et Guide de résolution

Question 1 : $(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 3$ et $3x + 2 = 0 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$. La réponse exacte est la B.

Question 2 : Calcul : $56 \times (1 + \frac{15}{100}) = 56 \times 1,15 = 64,4$. La plante mesurera 64,4 cm. Réponse A.

Question 3 : On cherche l'ordonnée du point d'abscisse $x = 1$. Graphiquement, le sommet de la parabole se situe au point $(1 ; -3)$. L'image de 1 est donc $-3$. Réponse C.

Question 4 : Utilisons l'algorithme d'Euclide : $189 = 108 \times 1 + 81$, puis $108 = 81 \times 1 + 27$, enfin $81 = 27 \times 3 + 0$. Le dernier reste non nul est 27. Réponse C.

Question 5 : $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$. Réponse B.

Points de vigilance en Première

En spécialité mathématiques, ne confondez pas le développement et la résolution. Pour la question 1, développer l'expression ralentirait inutilement la résolution. Pour la question 3, veillez à ne pas confondre l'image (ordonnée) et l'antécédent (abscisse).