Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait du sujet DNB Polynesie 2017, est un excellent support pour travailler la modélisation de situations réelles et la maîtrise des conversions d'unités. Bien qu'issu d'un niveau collège, il constitue une base fondamentale pour le programme de Première Spécialité en physique-mathématiques, notamment pour l'étude des fonctions de mouvement et des taux de variation.
L'objectif est de déterminer la vitesse moyenne d'un train à partir de sa longueur totale et de la durée mise pour franchir un point fixe (l'observateur). Les données sont réparties entre des informations textuelles (composition du train) et un schéma technique (dimensions des wagons).
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs étapes de réflexion sont cruciales :
- La composition structurelle : Il ne faut pas confondre une rame et le train complet. L'énoncé précise que le TGV est constitué de deux rames. Chaque erreur sur ce coefficient multiplicateur fausse l'intégralité du résultat.
- Le décompte des motrices et voitures : Chaque rame contient 2 motrices (A) et 10 voitures (B).
- La conversion des unités : Les dimensions sont fournies en millimètres (mm). Il est impératif de les convertir en mètres (m) ou en kilomètres (km) avant d'appliquer la formule de la vitesse.
- Relation Distance-Temps-Vitesse : La formule fondamentale $v = \frac{d}{t}$ est au cœur du problème.
Correction détaillée
1. Calcul de la longueur d'une rame :
D'après les données fournies dans le schéma (en mm) :
- Longueur d'une motrice A : $5000 + 14000 = 19000$ mm (soit 19 m).
- Longueur d'une voiture B : $18300$ mm (soit 18,3 m).
Note : Dans le sujet original de 2017, les valeurs étaient de 22,15m et 18,7m, mais nous suivons ici les annotations du texte fourni.
Composition d'une rame : $2 \times 19 + 10 \times 18,3 = 38 + 183 = 221$ mètres.
2. Calcul de la longueur totale du TGV :
Le train est composé de deux rames identiques :
$D = 2 \times 221 = 442$ mètres.
3. Calcul de la vitesse en m/s :
On sait que le train passe en $t = 13,53$ secondes.
$v = \frac{442}{13,53} \approx 32,668$ m/s.
4. Conversion en km/h :
Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par $3,6$ :
$v_{km/h} = 32,668 \times 3,6 \approx 117,605$ km/h.
5. Conclusion :
En arrondissant à l'unité comme demandé, la vitesse du TGV est d'environ 118 km/h.