Analyse de l'énoncé : De l'algorithme à la fonction
Cet exercice, bien qu'initialement posé en fin de cycle 4, constitue un excellent support de révision pour le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il permet de travailler la transition cruciale entre le langage algorithmique (Scratch) et le formalisme algébrique. En analysant les blocs Scratch, nous pouvons identifier une structure de fonction. Le bloc de saisie définit la variable d'entrée x, et le bloc de calcul définit la variable de sortie y selon la formule : f(x) = x² - 9.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences du programme de spécialité sont mobilisées :
- Modélisation : Savoir passer d'un script visuel à une expression polynomiale du second degré.
- Calcul numérique : Maîtriser le carré des nombres négatifs. Rappel : pour tout réel a, (-a)² = a². Une erreur fréquente est d'écrire -4² = -16 au lieu de (-4)² = 16.
- Recherche d'antécédents : La question 3 revient à résoudre l'équation f(x) = 0, ce qui renvoie à l'étude des racines d'un polynôme du second degré.
Guide de résolution détaillé
Question 1 : Vérification pour x = 2
En suivant les instructions du script :
1. On affecte 2 à x.
2. On calcule y = 2 * 2 - 9 = 4 - 9 = -5.
Le programme renvoie bien -5.
Question 2 : Calculs d'images
a) Pour x = 5 : y = 5² - 9 = 25 - 9 = 16.
b) Pour x = -4 : y = (-4)² - 9 = 16 - 9 = 7. Notez bien que le résultat est positif car le carré d'un nombre négatif est toujours positif.
Focus sur la résolution de l'équation (Question 3)
On nous demande de trouver x tel que le programme renvoie 0. Cela revient à résoudre dans ℝ l'équation : x² - 9 = 0.
En Première, deux méthodes sont possibles :
- Méthode 1 (Identité remarquable) : On reconnaît la forme a² - b² avec a = x et b = 3. L'équation devient (x - 3)(x + 3) = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On obtient x = 3 ou x = -3.
- Méthode 2 (Racine carrée) : x² = 9 équivaut à x = √9 ou x = -√9, soit x = 3 ou x = -3.
Conclusion : Pour que le programme renvoie 0, il faut choisir les nombres 3 ou -3 au départ.