Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2017, constitue un excellent support pour réviser les notions de croissance exponentielle et de suites géométriques au programme de la classe de Première Spécialité. L'énoncé se décompose en trois parties : la manipulation des puissances de dix (écriture scientifique), la modélisation d'une croissance par un tableur (approche discrète des suites), et enfin l'analyse graphique d'une décroissance bactérienne sous l'effet d'un antibiotique (approche continue des fonctions).

Points de vigilance et notions requises

• Écriture scientifique : Rappelons que l'écriture scientifique est de la forme $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$.
• Suites Géométriques : Une population qui double à intervalles réguliers suit une progression géométrique de raison $q = 2$.
• Lecture graphique : Attention à bien identifier les unités des axes. L'axe des ordonnées représente le nombre de bactéries tandis que l'axe des abscisses représente le temps en heures.
• Pourcentages : Une réduction de 80% signifie qu'il reste $100\% - 80\% = 20\%$ de la population initiale.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Taille de la bactérie :
Un micromètre est égal à $10^{-6}$ m. Ainsi, $0,8 \mu m = 0,8 \times 10^{-6} m$. Pour l'écriture scientifique, on déplace la virgule : $8 \times 10^{-7} m$.

2. Modélisation par tableur (Suites) :

• Formule B3 : Puisque la population double à chaque quart d'heure, la formule à saisir est =B2*2.
• Population au bout d'une heure : Une heure contient 4 quarts d'heure. On calcule les termes successifs : 100 (0 min) → 200 (15 min) → 400 (30 min) → 800 (45 min) → 1600 (60 min). Il y aura 1600 bactéries.
• Proportionnalité : Non, le nombre de bactéries n'est pas proportionnel au temps. Si c'était le cas, le nombre de bactéries entre 0 et 15 min (augmentation de 100) serait le même qu'entre 15 et 30 min. Or, l'augmentation est de plus en plus rapide.
• Dépassement de 10 000 : On continue la suite : 1600 (1h) → 3200 (1h15) → 6400 (1h30) → 12800 (1h45). La population dépasse 10 000 après 7 quarts d'heure.

3. Efficacité de l'antibiotique :

• À 3 heures : On repère 3 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe et on lit environ 5000 bactéries.
• 6000 bactéries : On repère 6000 sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on descend vers l'axe des abscisses. On trouve environ 2,3 heures (soit environ 2h 18min).
• Étude d'efficacité : La population initiale est de 10 000. Réduire de 80% revient à atteindre un seuil de $10 000 \times 0,20 = 2000$ bactéries. Graphiquement, le nombre de bactéries atteint 2000 au bout de 7,2 heures environ. Comme $7,2 > 5$, l'antibiotique n'est pas considéré comme efficace selon les critères de l'énoncé.