Analyse de l'énoncé et modélisation
Cet exercice propose une situation concrète de synchronisation de deux phénomènes périodiques. En Première Spécialité, ce type de problème se modélise parfaitement à l'aide des suites arithmétiques ou de l'arithmétique de base (multiples et diviseurs). L'enjeu ici est de déterminer à quels instants $t$ les deux bus se retrouvent simultanément à leur point de départ, l'arrêt "Mairie".
Étape 1 : Calcul de la durée d'un circuit complet
Pour résoudre ce problème, il faut d'abord compter le nombre d'intervalles (segments) entre les arrêts pour chaque ligne :
- Ligne 1 (pointillés) : En partant de la Mairie et en suivant le tracé dans le sens horaire, on compte 8 arrêts avant de revenir à la Mairie (Place, Cathédrale, Bibliothèque, Piscine, Lycée, Pompier, École, Mairie). Avec 3 minutes par segment, la durée totale d'un tour est de $8 \times 3 = 24$ minutes.
- Ligne 2 (trait plein) : En partant de la Mairie, le bus traverse 8 segments également (Gendarmerie, Collège, Marché, Horloge, Stade, Conservatoire, Cathédrale, Mairie). Avec 4 minutes par segment, la durée totale d'un tour est de $8 \times 4 = 32$ minutes.
Étape 2 : Recherche de la période de rencontre
Les bus se retrouvent à la Mairie à chaque fois que le temps écoulé depuis 06h30 est un multiple commun des deux périodes (24 et 32). Mathématiquement, nous cherchons le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de 24 et 32.
Décomposition en facteurs premiers :
- $24 = 2^3 \times 3$
- $32 = 2^5$
Le PPCM est donc $2^5 \times 3 = 32 \times 3 = 96$ minutes.
Cela signifie que les bus se croisent à la Mairie toutes les 96 minutes, soit 1 heure et 36 minutes.
Étape 3 : Détermination des horaires précis
Le premier départ a lieu à 06h30. Ajoutons successivement 1h36 jusqu'à la limite de 20h00 :
- 06h30 + 1h36 = 08h06
- 08h06 + 1h36 = 09h42
- 09h42 + 1h36 = 11h18
- 11h18 + 1h36 = 12h54
- 12h54 + 1h36 = 14h30
- 14h30 + 1h36 = 16h06
- 16h06 + 1h36 = 17h42
- 17h42 + 1h36 = 19h18
Le passage suivant (20h54) dépasse l'heure de fin de service. Les bus se retrouveront donc 8 fois à la Mairie au cours de la journée.
Points de vigilance
Il est crucial de bien compter les segments du polygone et non simplement les points, car le dernier trajet ramène au point de départ. En algorithmique, cela correspondrait à une boucle while s'exécutant tant que le temps est inférieur à 810 minutes (durée entre 06h30 et 20h00).