Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une base fondamentale pour la classe de Première Spécialité. Il permet de travailler la transition entre un algorithme procédural et une modélisation fonctionnelle. En mathématiques de spécialité, la capacité à transformer une suite d'instructions en une expression algébrique simplifiée est cruciale, notamment pour l'étude des fonctions et la compréhension des mécanismes de démonstration.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont mobilisées :

• La réduction d'expressions : Savoir simplifier une différence de carrés.
• Les identités remarquables : La reconnaissance du développement de $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. C'est ici que l'erreur est la plus fréquente (oubli du double produit).
• La notion de fonction : Distinguer l'image (résultat de la fonction) de l'antécédent (valeur d'entrée nécessaire pour obtenir un résultat donné).
• Représentation graphique : Savoir qu'une fonction de la forme $f(x) = ax + b$ est représentée par une droite, où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Vérification par le calcul : Pour un nombre de départ égal à $4$ :
- Ajouter 1 : $4 + 1 = 5$
- Carré du résultat : $5^2 = 25$
- Soustraire le carré du nombre de départ : $25 - 4^2 = 25 - 16 = 9$. Le résultat est confirmé.

2. Modélisation algébrique :
a. Soit $x$ le nombre choisi au départ. L'enchaînement des étapes donne : $(x + 1)^2 - x^2$.
b. Pour prouver que le résultat est $2x + 1$, développons l'expression à l'aide de l'identité remarquable $(a+b)^2$ :
$(x + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 2x + 1) - x^2$.
En simplifiant les termes en $x^2$, il reste $2x + 1$. Cette étape démontre que quel que soit le nombre choisi, le résultat suit une progression linéaire.

3. Étude de la fonction $f(x) = 2x + 1$ :
a. Calcul de l'image : $f(0) = 2(0) + 1 = 1$. L'image de $0$ est $1$.
b. Détermination de l'antécédent : On cherche $x$ tel que $f(x) = 5$. Soit $2x + 1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. L'antécédent de $5$ est $2$.
c. Tracé de la droite : La droite doit passer par les points calculés précédemment, soit $A(0; 1)$ et $B(2; 5)$. Le coefficient directeur est de $2$, ce qui signifie que pour une unité vers la droite, on monte de deux unités.
d. Lecture graphique : Pour un nombre de départ de $-3$ (abscisse $x = -3$), on descend verticalement vers la droite puis on projette sur l'axe des ordonnées. On lit graphiquement $-5$. On peut vérifier par le calcul : $f(-3) = 2(-3) + 1 = -5$.