Analyse de l'énoncé : De la géométrie à l'arithmétique commerciale
Cet exercice, bien qu'extrait d'un sujet de brevet, constitue une base fondamentale pour les élèves de Première Spécialité. Il traite de la modélisation mathématique appliquée à des situations concrètes de la vie quotidienne. La problématique principale repose sur la transition entre une mesure continue (l'aire d'un rectangle) et une contrainte discrète (le conditionnement en paquets). En mathématiques, savoir passer d'un modèle théorique à une application pratique nécessitant des arrondis stratégiques est une compétence clé du programme.
Points de vigilance et notions de cours requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs concepts doivent être maîtrisés :
- Le coefficient multiplicateur : Une augmentation de $t$ % revient à multiplier la valeur initiale par $(1 + t/100)$. Ici, pour 5 %, on multiplie par $1,05$. C'est une notion qui sera largement réexploitée dans le chapitre sur les suites géométriques.
- La gestion des arrondis (Fonction Plafond) : Dans le cadre d'un achat de matériel, on ne peut pas acheter une fraction de produit. Il faut donc systématiquement arrondir à l'entier supérieur (la 'partie entière par excès'), même si la décimale est faible.
- La structure d'une facture : La distinction entre le montant Hors Taxe (HT), la Taxe sur la Valeur Ajoutée (TVA) et le montant Toutes Taxes Comprises (TTC) est indispensable. La formule est : $TTC = HT imes (1 + ext{taux de TVA})$.
Correction détaillée et guide de résolution
Question 1 : Calcul de la surface totale. La surface du rectangle est donnée par la formule $L imes l = 5 imes 4 = 20$ m². En appliquant le coefficient de sécurité de 5 % pour les pertes de découpe, nous obtenons : $20 imes 1,05 = 21$ m². Bob doit donc bien commander au moins 21 m² de carrelage.
Question 2 : Détermination du nombre de paquets. Un paquet couvre $1,12$ m². Le nombre de paquets théorique est de $21 / 1,12 = 18,75$. Puisque les paquets ne se vendent qu'à l'unité, Bob doit commander 19 paquets.
Question 3 : Coût total de l'achat. Chaque paquet coûte 31 €, donc $19 imes 31 = 589$ €.
Question 4 : Compléter la facture.
- Sachet de croisillons : Le total HT est de 88 €. En soustrayant le coût des sceaux de colle (36 €) et des sacs de joint (45 €), on trouve $88 - (36 + 45) = 7$ €. Comme le montant unitaire est de 7 €, la quantité est de 1 sachet.
- Sac de joint : Le montant total HT est de 45 € pour 2 sacs, soit un prix unitaire de $45 / 2 = 22,50$ €.
- Calcul de la TVA : $88 imes 0,20 = 17,60$ €.
- Total TTC : $88 + 17,60 = 105,60$ €.
Pourquoi réviser cet exercice en Première ?
La capacité à manipuler les pourcentages avec aisance est le prérequis indispensable à l'étude des Suites Numériques. Comprendre comment une variation relative impacte une grandeur totale permet de mieux appréhender les évolutions successives et les limites de suites. De plus, la gestion de données en tableau prépare à l'utilisation des tableurs, outil central du programme de spécialité.