Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet de Septembre 2018, propose une approche algorithmique pour introduire des notions de calcul littéral. Il s'agit de traduire un schéma de calcul (organigramme) en une expression algébrique complexe. Pour un élève de Première Spécialité, cet exercice constitue une excellente base de révision sur la manipulation des expressions du second degré, la distributivité et surtout les techniques de factorisation.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences fondamentales du programme de mathématiques sont mobilisées :
- Traduction algébrique : Savoir transformer une instruction verbale ou visuelle en symbole mathématique (priorité des opérations).
- Calcul numérique : Maîtriser les nombres relatifs.
- Développement et Factorisation : Identifier un facteur commun ou utiliser les identités remarquables pour comparer deux expressions.
- Le second degré : Reconnaître qu'un produit de deux expressions de degré 1 donne une fonction polynomiale de degré 2.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Vérification avec la valeur 1 :
En partant de 1 :
- Branche de gauche : $1 \times 2 = 2$ puis $2 - 5 = -3$.
- Branche de droite : $1 \times 3 = 3$ puis $3 + 2 = 5$.
- Multiplication finale : $(-3) \times 5 = -15$. Le résultat est bien validé.
2. Détermination de l'expression générale :
Soit $x$ le nombre de départ :
- La branche de gauche produit l'expression $(2x - 5)$.
- La branche de droite produit l'expression $(3x + 2)$.
- L'opération finale étant une multiplication, l'expression globale est $(2x - 5) \times (3x + 2)$.
C'est donc l'expression B qui est correcte. L'expression C est incorrecte à cause de l'absence de parenthèses (non-respect des priorités opératoires).
3. Analyse de l'affirmation de Lily :
Pour savoir si $D = (3x + 2)^2 - (x + 7)(3x + 2)$ est égale à $B$, nous pouvons factoriser $D$. On remarque que $(3x + 2)$ est un facteur commun :
$D = (3x + 2) [ (3x + 2) - (x + 7) ]$
$D = (3x + 2) [ 3x + 2 - x - 7 ]$
$D = (3x + 2) (2x - 5)$
On retrouve exactement l'expression B. L'affirmation de Lily est donc vraie.
Ouverture vers la Première Spécialité
En spécialité mathématiques, ce type de fonction $f(x) = (3x + 2)(2x - 5)$ est étudié sous la forme développée $f(x) = 6x^2 - 11x - 10$. On pourra alors demander de calculer le discriminant $\Delta$, de trouver les racines ou de déterminer les variations de la parabole associée.