Analyse de l'énoncé et contexte pédagogique

Cet exercice, extrait du sujet Amérique du Sud 2018, traite d'une notion pivot du programme de Mathématiques en Première Spécialité : les évolutions successives. Dans le cadre du programme actuel, la capacité à transformer une variation en pourcentage ou une fraction de reste en un coefficient multiplicateur est la pierre angulaire de l'étude des suites géométriques. L'énoncé présente une situation de réduction de stock en deux étapes distinctes qu'il convient de modéliser avec rigueur mathématique.

Points de vigilance et notions requises

Pour résoudre ce problème sans erreur, deux concepts majeurs doivent être maîtrisés :

• La transformation d'un pourcentage en coefficient : Une baisse de $p\%$ revient à multiplier par $(1 - \frac{p}{100})$. Ici, pour une perte de $15\%$, le coefficient multiplicateur est $0,85$.
• L'application d'une fraction sur un reste : C'est le point de vigilance principal. La fraction $\frac{3}{5}$ ne s'applique pas au nombre initial (300) mais au résultat de la première étape. On parle ici de proportions relatives successives.
• Complémentarité : Si l'on vend $\frac{3}{5}$ d'un stock, il en reste mathématiquement $\frac{2}{5}$. Utiliser directement ce complément permet d'optimiser le temps de résolution.

Correction détaillée et guide de résolution

Nous pouvons décomposer le problème en deux étapes de calcul successives.

Étape 1 : Le passage à la déchèterie

Hugo possède initialement 300 BD. Il se sépare de $15\%$ d'entre elles car elles sont abîmées.
Nombre de BD jetées : $300 \times \frac{15}{100} = 45$.
Nombre de BD restantes (stock intermédiaire $V_1$) : $300 - 45 = 255$ BD.
Note : En Première, on écrit directement $V_1 = 300 \times 0,85 = 255$.

Étape 2 : La vente à la braderie

Hugo vend ensuite $\frac{3}{5}$ de ce qu'il lui reste ($V_1$).
Nombre de BD vendues : $255 \times \frac{3}{5} = \frac{765}{5} = 153$.
Nombre de BD restantes à la fin (stock final $V_2$) : $255 - 153 = 102$ BD.

Transversalité : Vers les suites numériques

En classe de Première, cet exercice ne s'arrête pas à un calcul arithmétique. On peut modéliser cette situation par une suite. Si l'on répétait l'action de vendre une fraction du reste chaque mois, nous obtiendrions une suite géométrique de raison $q = 0,4$ (puisqu'il reste $2/5$ après chaque vente). Maîtriser le passage de "vendre $3/5$" à "multiplier par $0,4$" est essentiel pour manipuler les formules de récurrence de type $u_{n+1} = u_n \times q$.

Conclusion

Hugo rapporte exactement 102 bandes dessinées chez lui. La compréhension des évolutions en cascade est un automatisme indispensable pour réussir les chapitres sur l'analyse et les modèles exponentiels.