Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de cycle 4, constitue une excellente base de révision pour le programme de Première Spécialité. Il mobilise la modélisation de situations concrètes par des fonctions (linéaires, constantes et affines) et l'interprétation graphique d'équations et d'inéquations. Dans le contexte de la spécialité mathématiques, cet exercice peut être vu comme une introduction aux suites arithmétiques ou à l'étude des fonctions polynômes de degré 1.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser :
- L'identification des paramètres d'une fonction affine : l'ordonnée à l'origine (valeur initiale) et le coefficient directeur (taux d'évolution).
- La lecture graphique de points d'intersection pour résoudre des inéquations de type f(x) < g(x).
- La rigueur dans la rédaction, notamment pour justifier le passage du graphique aux calculs.
Correction Détaillée
1. Identification des courbes :
- La Formule A (3,75€ par magazine) est une fonction linéaire passante par l'origine. Elle correspond à la droite (D3) car pour x=40, y=150 (40 * 3,75 = 150).
- La Formule B (130€ fixe) est une fonction constante. Elle correspond à la droite horizontale (D2).
- La Formule C (30€ + 2,25€ par magazine) est une fonction affine d'ordonnée à l'origine 30. Elle correspond à la droite (D1).
2. Exploitation graphique :
- a) Pour 16 magazines avec la Formule A (D3), on repère x=16 sur l'axe des abscisses et on lit l'ordonnée sur (D3). On obtient 60 €.
- b) Avec 120 €, on cherche l'abscisse du point d'ordonnée 120 sur (D1). On trouve 40 magazines au maximum (Calcul : 2,25x + 30 = 120 -> 2,25x = 90 -> x = 40).
- c) Pour un budget de 100 €, on trace la ligne horizontale y=100. On regarde quelle courbe permet d'aller le plus loin vers la droite. C'est la courbe (D1) qui intercepte y=100 à environ x=31. La Formule C est donc la plus avantageuse sous cette contrainte.
3. Comparaison des tarifs :
Graphiquement, la formule la plus avantageuse est celle représentée par la droite la plus basse :
- De 0 à 20 magazines : Formule A.
- De 20 à 44 magazines : Formule C.
- Au-delà de 44 magazines : Formule B.