Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait du sujet de Nouvelle-Calédonie 2018, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Bien que d'un niveau initial de fin de collège, il constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité afin de consolider les automatismes en calcul algébrique et en géométrie. L'exercice balaye quatre compétences distinctes : le développement d'expressions polynomiales, la trigonométrie dans le triangle rectangle, l'arithmétique de base et l'application du théorème de Thalès.

Points de vigilance et notions de cours

• Polynômes : La double distributivité est essentielle. Il faut être particulièrement attentif aux signes lors du développement de $(ax+b)(cx+d)$.
• Trigonométrie : La maîtrise des rapports SOH CAH TOA est requise. Identifier correctement l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé est l'étape cruciale pour ne pas inverser les rapports.
• Géométrie de configuration : Pour Thalès, la rédaction rigoureuse (droites parallèles, points alignés) permet de poser l'égalité des rapports de longueurs sans erreur.

Correction détaillée

Question 1 : Développement
On développe $(2x + 5)(x - 2)$ en utilisant la double distributivité :
$(2x imes x) + (2x imes -2) + (5 imes x) + (5 imes -2) = 2x^2 - 4x + 5x - 10$.
En réduisant, on obtient : $2x^2 + x - 10$.
Réponse exacte : C.

Question 2 : Cosinus
Dans le triangle ABC rectangle en A, l'angle considéré est $\widehat{ABC}$. Le côté adjacent à cet angle est [AB] et l'hypoténuse est [BC].
$\cos(\widehat{ABC}) = rac{AB}{BC} = rac{4}{5}$.
Réponse exacte : B.

Question 3 : Arithmétique
Soit $7n$ et $7m$ deux multiples de 7 (avec $n$ et $m$ entiers).
Leur somme est $7n + 7m = 7(n + m)$. Puisque $(n + m)$ est un entier, le résultat est nécessairement un multiple de 7.
Réponse exacte : C.

Question 4 : Théorème de Thalès
Puisque les droites (BC) et (ST) sont parallèles et que les points A, S, B d'une part et A, T, C d'autre part sont alignés, d'après le théorème de Thalès :
$rac{AS}{AB} = rac{ST}{BC}$
$rac{42}{125} = rac{ST}{75}$
$ST = rac{42 imes 75}{125} = rac{42 imes 3}{5} = rac{126}{5} = 25,2$.
Réponse exacte : B.