Analyse de l'énoncé
Cet exercice propose une approche hybride mêlant géométrie plane, calcul littéral et algorithmie. L'objectif est de comparer deux grandeurs variables (les périmètres d'un triangle équilatéral et d'un rectangle) dépendant d'un paramètre réel $x$. En classe de Première Spécialité, ce type de travail permet de consolider la notion de fonction affine et de modélisation mathématique. La seconde partie de l'exercice effectue la transition vers la pensée informatique en utilisant des scripts Scratch, ce qui constitue une excellente introduction avant d'aborder la syntaxe Python du programme de lycée.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il est crucial de maîtriser les éléments suivants :
- La définition du périmètre : Somme des longueurs des côtés. Pour le rectangle, la formule est $P = 2 \times (L + l)$, et pour le triangle équilatéral, $P = 3 \times c$.
- Le calcul littéral : Développer et réduire des expressions du premier degré pour démontrer une égalité (ici $12x + 3$).
- La géométrie algorithmique : Comprendre que pour fermer un polygone régulier à $n$ côtés, l'angle de rotation est l'angle extérieur, calculé par $\frac{360}{n}$.
Correction détaillée et Guide de résolution
Partie I : Modélisation algébrique
1. Pour $x = 2$, le côté du triangle est $4(2) + 1 = 9$ cm. La construction s'effectue avec une règle et un compas (trois côtés de 9 cm).
2. a) Le rectangle a pour longueur $L = 4x + 1,5$ et pour largeur $l = 2x$. Son périmètre est $P = 2 \times (L + l) = 2 \times (4x + 1,5 + 2x) = 2 \times (6x + 1,5) = 12x + 3$. L'égalité est démontrée.
2. b) On résout l'équation $12x + 3 = 18$. Cela donne $12x = 15$, soit $x = \frac{15}{12} = 1,25$. Le périmètre vaut 18 cm pour $x = 1,25$.
3. Le périmètre du triangle est $3 \times (4x + 1) = 12x + 3$. Puisque les deux expressions sont identiques pour tout $x$ positif, les deux figures ont toujours le même périmètre.
Analyse des scripts algorithmiques
Script 1 (Le Rectangle) : Un rectangle nécessite de répéter deux fois une séquence de deux côtés. Ainsi, A = 2. Après le premier côté, l'angle de rotation est de B = 90 degrés. Ce script correspond au rectangle car il comporte deux instructions 'avancer' différentes.
Script 2 (Le Triangle) : Un triangle équilatéral possède 3 côtés égaux. On répète donc l'instruction C = 3 fois. Pour l'angle, on effectue une rotation de $\frac{360}{3}$, soit D = 120 degrés.